Issolvi {l}{3x+2y=7}{5x-2y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 7 } \\ { 5 x - 2 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y = \frac{25}{8} = 3\frac{1}{8} = 3.125$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+2y=7,5x-2y=-5$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+2y=7$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-2y+7$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-2y+7.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-2y+7}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 5x-2y=-5.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}\right)-2y=-5$$

Immultiplika 5 b'\frac{-2y+7}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{35}{3}-2y=-5$$

Żid -\frac{10y}{3} ma' -2y.

$$-\frac{16}{3}y+\frac{35}{3}=-5$$

Naqqas \frac{35}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{16}{3}y=-\frac{50}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{16}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{25}{8}$$

Issostitwixxi \frac{25}{8} għal y f'x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{25}{8}+\frac{7}{3}$$

Immultiplika -\frac{2}{3} b'\frac{25}{8} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{25}{12}+\frac{7}{3}$$

Żid \frac{7}{3} ma' -\frac{25}{12} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{1}{4}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{25}{8}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+2y=7,5x-2y=-5$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-2\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-2\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{5}{16}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 7+\frac{1}{8}\left(-5\right)\\\frac{5}{16}\times 7-\frac{3}{16}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\\frac{25}{8}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{25}{8}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+2y=7,5x-2y=-5$$

Biex tagħmel 3x u 5x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 7,3\times 5x+3\left(-2\right)y=3\left(-5\right)$$

Issimplifika.

$$15x+10y=35,15x-6y=-15$$

Naqqas 15x-6y=-15 minn 15x+10y=35 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$15x-15x+10y+6y=35+15$$

Żid 15x ma' -15x. 15x u -15x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$10y+6y=35+15$$

Żid 10y ma' 6y.

$$16y=35+15$$

Żid 35 ma' 15.

$$16y=50$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'16.

$$y=\frac{25}{8}$$

Issostitwixxi \frac{25}{8} għal y f'5x-2y=-5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$5x-2\times \frac{25}{8}=-5$$

Immultiplika -2 b'\frac{25}{8}.

$$5x-\frac{25}{4}=-5$$

Żid \frac{25}{4} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=\frac{5}{4}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{4}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{25}{8}$$