Issolvi {l}{3x+2y=4}{3y+6x=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 4 } \\ { 3 y + 6 x = 10 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

$$y=-2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+2y=4,6x+3y=10$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+2y=4$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-2y+4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+4\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-2y+4.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-2y+4}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 6x+3y=10.

$$6\left(-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}\right)+3y=10$$

Immultiplika 6 b'\frac{-2y+4}{3}.

$$-4y+8+3y=10$$

Żid -4y ma' 3y.

$$-y+8=10$$

Naqqas 8 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-y=2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'x=-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{4}{3}$$

Immultiplika -\frac{2}{3} b'-2.

$$x=\frac{4+4}{3}$$

Żid \frac{4}{3} ma' \frac{4}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{8}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{8}{3},y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+2y=4,6x+3y=10$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\times 6}&-\frac{2}{3\times 3-2\times 6}\\-\frac{6}{3\times 3-2\times 6}&\frac{3}{3\times 3-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{2}{3}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4+\frac{2}{3}\times 10\\2\times 4-10\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\-2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{8}{3},y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+2y=4,6x+3y=10$$

Biex tagħmel 3x u 6x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'6 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$6\times 3x+6\times 2y=6\times 4,3\times 6x+3\times 3y=3\times 10$$

Issimplifika.

$$18x+12y=24,18x+9y=30$$

Naqqas 18x+9y=30 minn 18x+12y=24 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$18x-18x+12y-9y=24-30$$

Żid 18x ma' -18x. 18x u -18x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$12y-9y=24-30$$

Żid 12y ma' -9y.

$$3y=24-30$$

Żid 24 ma' -30.

$$3y=-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'6x+3y=10. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$6x+3\left(-2\right)=10$$

Immultiplika 3 b'-2.

$$6x-6=10$$

Żid 6 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6x=16$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=\frac{8}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{8}{3},y=-2$$