Issolvi {l}{3x+2y=4}{2x+3y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 4 } \\ { 2 x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=0$$

$$y=2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+2y=4,2x+3y=6$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+2y=4$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-2y+4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+4\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-2y+4.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-2y+4}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+3y=6.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}\right)+3y=6$$

Immultiplika 2 b'\frac{-2y+4}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{8}{3}+3y=6$$

Żid -\frac{4y}{3} ma' 3y.

$$\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}=6$$

Naqqas \frac{8}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{5}{3}y=\frac{10}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{5}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'x=-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{4}{3}$$

Immultiplika -\frac{2}{3} b'2.

$$x=\frac{-4+4}{3}$$

Żid \frac{4}{3} ma' -\frac{4}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=0,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+2y=4,2x+3y=6$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\times 2}&-\frac{2}{3\times 3-2\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-2\times 2}&\frac{3}{3\times 3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 4-\frac{2}{5}\times 6\\-\frac{2}{5}\times 4+\frac{3}{5}\times 6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=0,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+2y=4,2x+3y=6$$

Biex tagħmel 3x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 4,3\times 2x+3\times 3y=3\times 6$$

Issimplifika.

$$6x+4y=8,6x+9y=18$$

Naqqas 6x+9y=18 minn 6x+4y=8 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x+4y-9y=8-18$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$4y-9y=8-18$$

Żid 4y ma' -9y.

$$-5y=8-18$$

Żid 8 ma' -18.

$$-5y=-10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'2x+3y=6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x+3\times 2=6$$

Immultiplika 3 b'2.

$$2x+6=6$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=0,y=2$$