Issolvi {l}{3x+2y=4+3}{2x-y=278-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 4 + 3 } \\ { 2 x - y = 278 - 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{561}{7} = 80\frac{1}{7} \approx 80.142857143$$

$$y = -\frac{817}{7} = -116\frac{5}{7} \approx -116.714285714$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+2y=7,2x-y=277$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+2y=7$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-2y+7$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-2y+7.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-2y+7}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x-y=277.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}\right)-y=277$$

Immultiplika 2 b'\frac{-2y+7}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{14}{3}-y=277$$

Żid -\frac{4y}{3} ma' -y.

$$-\frac{7}{3}y+\frac{14}{3}=277$$

Naqqas \frac{14}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{7}{3}y=\frac{817}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{7}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{817}{7}$$

Issostitwixxi -\frac{817}{7} għal y f'x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-\frac{817}{7}\right)+\frac{7}{3}$$

Immultiplika -\frac{2}{3} b'-\frac{817}{7} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{1634}{21}+\frac{7}{3}$$

Żid \frac{7}{3} ma' \frac{1634}{21} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{561}{7}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{561}{7},y=-\frac{817}{7}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+2y=7,2x-y=277$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\277\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\277\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\277\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\277\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2\times 2}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\times 2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\277\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\277\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 7+\frac{2}{7}\times 277\\\frac{2}{7}\times 7-\frac{3}{7}\times 277\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{561}{7}\\-\frac{817}{7}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{561}{7},y=-\frac{817}{7}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+2y=7,2x-y=277$$

Biex tagħmel 3x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 7,3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 277$$

Issimplifika.

$$6x+4y=14,6x-3y=831$$

Naqqas 6x-3y=831 minn 6x+4y=14 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x+4y+3y=14-831$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$4y+3y=14-831$$

Żid 4y ma' 3y.

$$7y=14-831$$

Żid 14 ma' -831.

$$7y=-817$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$y=-\frac{817}{7}$$

Issostitwixxi -\frac{817}{7} għal y f'2x-y=277. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x-\left(-\frac{817}{7}\right)=277$$

Naqqas \frac{817}{7} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=\frac{1122}{7}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{561}{7}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{561}{7},y=-\frac{817}{7}$$