Issolvi {l}{3x+2y=10}{7x-y=29}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 10 } \\ { 7 x - y = 29 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=4$$

$$y=-1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+2y=10,7x-y=29$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+2y=10$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-2y+10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+10\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-2y+10.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-2y+10}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 7x-y=29.

$$7\left(-\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}\right)-y=29$$

Immultiplika 7 b'\frac{-2y+10}{3}.

$$-\frac{14}{3}y+\frac{70}{3}-y=29$$

Żid -\frac{14y}{3} ma' -y.

$$-\frac{17}{3}y+\frac{70}{3}=29$$

Naqqas \frac{70}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{17}{3}y=\frac{17}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{17}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'x=-\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-1\right)+\frac{10}{3}$$

Immultiplika -\frac{2}{3} b'-1.

$$x=\frac{2+10}{3}$$

Żid \frac{10}{3} ma' \frac{2}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=4,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+2y=10,7x-y=29$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\7&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\29\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&2\\7&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\7&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\29\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\29\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\29\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2\times 7}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\times 7}\\-\frac{7}{3\left(-1\right)-2\times 7}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\29\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&\frac{2}{17}\\\frac{7}{17}&-\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\29\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 10+\frac{2}{17}\times 29\\\frac{7}{17}\times 10-\frac{3}{17}\times 29\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=4,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+2y=10,7x-y=29$$

Biex tagħmel 3x u 7x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'7 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$7\times 3x+7\times 2y=7\times 10,3\times 7x+3\left(-1\right)y=3\times 29$$

Issimplifika.

$$21x+14y=70,21x-3y=87$$

Naqqas 21x-3y=87 minn 21x+14y=70 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$21x-21x+14y+3y=70-87$$

Żid 21x ma' -21x. 21x u -21x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$14y+3y=70-87$$

Żid 14y ma' 3y.

$$17y=70-87$$

Żid 70 ma' -87.

$$17y=-17$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'17.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'7x-y=29. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$7x-\left(-1\right)=29$$

Naqqas 1 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$7x=28$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$x=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=4,y=-1$$