Issolvi {l}{3x+2y=-1}{6x+6y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = - 1 } \\ { 6 x + 6 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$y = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+2y=-1,6x+6y=-5$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+2y=-1$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-2y-1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y-1\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-2y-1.

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-2y-1}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 6x+6y=-5.

$$6\left(-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}\right)+6y=-5$$

Immultiplika 6 b'\frac{-2y-1}{3}.

$$-4y-2+6y=-5$$

Żid -4y ma' 6y.

$$2y-2=-5$$

Żid 2 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2y=-3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$y=-\frac{3}{2}$$

Issostitwixxi -\frac{3}{2} għal y f'x=-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-\frac{3}{2}\right)-\frac{1}{3}$$

Immultiplika -\frac{2}{3} b'-\frac{3}{2} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=1-\frac{1}{3}$$

Żid -\frac{1}{3} ma' 1.

$$x=\frac{2}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{2}{3},y=-\frac{3}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+2y=-1,6x+6y=-5$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-2\times 6}&-\frac{2}{3\times 6-2\times 6}\\-\frac{6}{3\times 6-2\times 6}&\frac{3}{3\times 6-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1-\frac{1}{3}\left(-5\right)\\-\left(-1\right)+\frac{1}{2}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{2}{3},y=-\frac{3}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+2y=-1,6x+6y=-5$$

Biex tagħmel 3x u 6x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'6 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$6\times 3x+6\times 2y=6\left(-1\right),3\times 6x+3\times 6y=3\left(-5\right)$$

Issimplifika.

$$18x+12y=-6,18x+18y=-15$$

Naqqas 18x+18y=-15 minn 18x+12y=-6 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$18x-18x+12y-18y=-6+15$$

Żid 18x ma' -18x. 18x u -18x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$12y-18y=-6+15$$

Żid 12y ma' -18y.

$$-6y=-6+15$$

Żid -6 ma' 15.

$$-6y=9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-6.

$$y=-\frac{3}{2}$$

Issostitwixxi -\frac{3}{2} għal y f'6x+6y=-5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$6x+6\left(-\frac{3}{2}\right)=-5$$

Immultiplika 6 b'-\frac{3}{2}.

$$6x-9=-5$$

Żid 9 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6x=4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=\frac{2}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{2}{3},y=-\frac{3}{2}$$