Issolvi {l}{3w-2z=5}{w+2z=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 w - 2 z = 5 } \\ { w + 2 z = 15 } \end{array} \right.$$

Solvi għal w, z

$$z=5$$

$$w=5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal w billi tiżola w fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3w-2z=5$$

Żid 2z maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3w=2z+5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$w=\frac{1}{3}\left(2z+5\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'2z+5.

$$w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}$$

Issostitwixxi \frac{2z+5}{3} għal w fl-ekwazzjoni l-oħra, w+2z=15.

$$\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}+2z=15$$

Żid \frac{2z}{3} ma' 2z.

$$\frac{8}{3}z+\frac{5}{3}=15$$

Naqqas \frac{5}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{8}{3}z=\frac{40}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{8}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$z=5$$

Issostitwixxi 5 għal z f'w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal w direttament.

$$w=\frac{2}{3}\times 5+\frac{5}{3}$$

Immultiplika \frac{2}{3} b'5.

$$w=\frac{10+5}{3}$$

Żid \frac{5}{3} ma' \frac{10}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$w=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$w=5,z=5$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 15\\-\frac{1}{8}\times 5+\frac{3}{8}\times 15\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi w u z.

$$w=5,z=5$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

Biex tagħmel 3w u w ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$3w-2z=5,3w+3\times 2z=3\times 15$$

Issimplifika.

$$3w-2z=5,3w+6z=45$$

Naqqas 3w+6z=45 minn 3w-2z=5 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$3w-3w-2z-6z=5-45$$

Żid 3w ma' -3w. 3w u -3w jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-2z-6z=5-45$$

Żid -2z ma' -6z.

$$-8z=5-45$$

Żid 5 ma' -45.

$$-8z=-40$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-8.

$$z=5$$

Issostitwixxi 5 għal z f'w+2z=15. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal w direttament.

$$w+2\times 5=15$$

Immultiplika 2 b'5.

$$w+10=15$$

Naqqas 10 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$w=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$w=5,z=5$$