Issolvi {l}{3u+5x=8}{5u+5x=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 u + 5 x = 8 } \\ { 5 u + 5 x = 14 } \end{array} \right.$$

Solvi għal u, x

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$u=3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal u billi tiżola u fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3u+5x=8$$

Naqqas 5x miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3u=-5x+8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$u=\frac{1}{3}\left(-5x+8\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-5x+8.

$$u=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-5x+8}{3} għal u fl-ekwazzjoni l-oħra, 5u+5x=14.

$$5\left(-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}\right)+5x=14$$

Immultiplika 5 b'\frac{-5x+8}{3}.

$$-\frac{25}{3}x+\frac{40}{3}+5x=14$$

Żid -\frac{25x}{3} ma' 5x.

$$-\frac{10}{3}x+\frac{40}{3}=14$$

Naqqas \frac{40}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{10}{3}x=\frac{2}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{10}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Issostitwixxi -\frac{1}{5} għal x f'u=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal u direttament.

$$u=-\frac{5}{3}\left(-\frac{1}{5}\right)+\frac{8}{3}$$

Immultiplika -\frac{5}{3} b'-\frac{1}{5} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$u=\frac{1+8}{3}$$

Żid \frac{8}{3} ma' \frac{1}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$u=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 5-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 5-5\times 5}&\frac{3}{3\times 5-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{2}\times 14\\\frac{1}{2}\times 8-\frac{3}{10}\times 14\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi u u x.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

Naqqas 5u+5x=14 minn 3u+5x=8 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$3u-5u+5x-5x=8-14$$

Żid 5x ma' -5x. 5x u -5x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$3u-5u=8-14$$

Żid 3u ma' -5u.

$$-2u=8-14$$

Żid 8 ma' -14.

$$-2u=-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$u=3$$

Issostitwixxi 3 għal u f'5u+5x=14. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$5\times 3+5x=14$$

Immultiplika 5 b'3.

$$15+5x=14$$

Naqqas 15 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=-1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$