Issolvi {l}{3t-2u=7}{9t-5u=18}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 t - 2 u = 7 } \\ { 9 t - 5 u = 18 } \end{array} \right.$$

Solvi għal t, u

$$t=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$u=-3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3t-2u=7,9t-5u=18$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal t billi tiżola t fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3t-2u=7$$

Żid 2u maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3t=2u+7$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$t=\frac{1}{3}\left(2u+7\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'2u+7.

$$t=\frac{2}{3}u+\frac{7}{3}$$

Issostitwixxi \frac{2u+7}{3} għal t fl-ekwazzjoni l-oħra, 9t-5u=18.

$$9\left(\frac{2}{3}u+\frac{7}{3}\right)-5u=18$$

Immultiplika 9 b'\frac{2u+7}{3}.

$$6u+21-5u=18$$

Żid 6u ma' -5u.

$$u+21=18$$

Naqqas 21 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$u=-3$$

Issostitwixxi -3 għal u f't=\frac{2}{3}u+\frac{7}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal t direttament.

$$t=\frac{2}{3}\left(-3\right)+\frac{7}{3}$$

Immultiplika \frac{2}{3} b'-3.

$$t=-2+\frac{7}{3}$$

Żid \frac{7}{3} ma' -2.

$$t=\frac{1}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$t=\frac{1}{3},u=-3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3t-2u=7,9t-5u=18$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}&-\frac{-2}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}&\frac{2}{3}\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}\times 7+\frac{2}{3}\times 18\\-3\times 7+18\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi t u u.

$$t=\frac{1}{3},u=-3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3t-2u=7,9t-5u=18$$

Biex tagħmel 3t u 9t ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'9 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$9\times 3t+9\left(-2\right)u=9\times 7,3\times 9t+3\left(-5\right)u=3\times 18$$

Issimplifika.

$$27t-18u=63,27t-15u=54$$

Naqqas 27t-15u=54 minn 27t-18u=63 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$27t-27t-18u+15u=63-54$$

Żid 27t ma' -27t. 27t u -27t jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-18u+15u=63-54$$

Żid -18u ma' 15u.

$$-3u=63-54$$

Żid 63 ma' -54.

$$-3u=9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$u=-3$$

Issostitwixxi -3 għal u f'9t-5u=18. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal t direttament.

$$9t-5\left(-3\right)=18$$

Immultiplika -5 b'-3.

$$9t+15=18$$

Naqqas 15 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$9t=3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'9.

$$t=\frac{1}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$t=\frac{1}{3},u=-3$$