Issolvi {l}{3c+5z=-15}{5c+3z=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 c + 5 z = - 15 } \\ { 5 c + 3 z = - 9 } \end{array} \right.$$

Solvi għal c, z

$$z=-3$$

$$c=0$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal c billi tiżola c fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3c+5z=-15$$

Naqqas 5z miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3c=-5z-15$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$c=\frac{1}{3}\left(-5z-15\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-5z-15.

$$c=-\frac{5}{3}z-5$$

Issostitwixxi -\frac{5z}{3}-5 għal c fl-ekwazzjoni l-oħra, 5c+3z=-9.

$$5\left(-\frac{5}{3}z-5\right)+3z=-9$$

Immultiplika 5 b'-\frac{5z}{3}-5.

$$-\frac{25}{3}z-25+3z=-9$$

Żid -\frac{25z}{3} ma' 3z.

$$-\frac{16}{3}z-25=-9$$

Żid 25 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{16}{3}z=16$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{16}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$z=-3$$

Issostitwixxi -3 għal z f'c=-\frac{5}{3}z-5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal c direttament.

$$c=-\frac{5}{3}\left(-3\right)-5$$

Immultiplika -\frac{5}{3} b'-3.

$$c=5-5$$

Żid -5 ma' 5.

$$c=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$c=0,z=-3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}&\frac{3}{3\times 3-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\\\frac{5}{16}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}\left(-15\right)+\frac{5}{16}\left(-9\right)\\\frac{5}{16}\left(-15\right)-\frac{3}{16}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi c u z.

$$c=0,z=-3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

Biex tagħmel 3c u 5c ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$5\times 3c+5\times 5z=5\left(-15\right),3\times 5c+3\times 3z=3\left(-9\right)$$

Issimplifika.

$$15c+25z=-75,15c+9z=-27$$

Naqqas 15c+9z=-27 minn 15c+25z=-75 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$15c-15c+25z-9z=-75+27$$

Żid 15c ma' -15c. 15c u -15c jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$25z-9z=-75+27$$

Żid 25z ma' -9z.

$$16z=-75+27$$

Żid -75 ma' 27.

$$16z=-48$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'16.

$$z=-3$$

Issostitwixxi -3 għal z f'5c+3z=-9. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal c direttament.

$$5c+3\left(-3\right)=-9$$

Immultiplika 3 b'-3.

$$5c-9=-9$$

Żid 9 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5c=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$c=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$c=0,z=-3$$