Issolvi {l}{3a+5u=17}{2a+u=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a + 5 u = 17 } \\ { 2 a + u = 9 } \end{array} \right.$$

Solvi għal a, u

$$a=4$$

$$u=1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3a+5u=17,2a+u=9$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal a billi tiżola a fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3a+5u=17$$

Naqqas 5u miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3a=-5u+17$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$a=\frac{1}{3}\left(-5u+17\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-5u+17.

$$a=-\frac{5}{3}u+\frac{17}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-5u+17}{3} għal a fl-ekwazzjoni l-oħra, 2a+u=9.

$$2\left(-\frac{5}{3}u+\frac{17}{3}\right)+u=9$$

Immultiplika 2 b'\frac{-5u+17}{3}.

$$-\frac{10}{3}u+\frac{34}{3}+u=9$$

Żid -\frac{10u}{3} ma' u.

$$-\frac{7}{3}u+\frac{34}{3}=9$$

Naqqas \frac{34}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{7}{3}u=-\frac{7}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{7}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$u=1$$

Issostitwixxi 1 għal u f'a=-\frac{5}{3}u+\frac{17}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a direttament.

$$a=\frac{-5+17}{3}$$

Żid \frac{17}{3} ma' -\frac{5}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$a=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a=4,u=1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3a+5u=17,2a+u=9$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-5\times 2}&-\frac{5}{3-5\times 2}\\-\frac{2}{3-5\times 2}&\frac{3}{3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 17+\frac{5}{7}\times 9\\\frac{2}{7}\times 17-\frac{3}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi a u u.

$$a=4,u=1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3a+5u=17,2a+u=9$$

Biex tagħmel 3a u 2a ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$2\times 3a+2\times 5u=2\times 17,3\times 2a+3u=3\times 9$$

Issimplifika.

$$6a+10u=34,6a+3u=27$$

Naqqas 6a+3u=27 minn 6a+10u=34 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6a-6a+10u-3u=34-27$$

Żid 6a ma' -6a. 6a u -6a jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$10u-3u=34-27$$

Żid 10u ma' -3u.

$$7u=34-27$$

Żid 34 ma' -27.

$$7u=7$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$u=1$$

Issostitwixxi 1 għal u f'2a+u=9. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a direttament.

$$2a+1=9$$

Naqqas 1 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2a=8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$a=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a=4,u=1$$