Issolvi {l}{3a+4b=4}{7a+5b=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a + 4 b = 4 } \\ { 7 a + 5 b = 9 } \end{array} \right.$$

Solvi għal a, b

$$a = \frac{16}{13} = 1\frac{3}{13} \approx 1.230769231$$

$$b=\frac{1}{13}\approx 0.076923077$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3a+4b=4,7a+5b=9$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal a billi tiżola a fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3a+4b=4$$

Naqqas 4b miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3a=-4b+4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$a=\frac{1}{3}\left(-4b+4\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-4b+4.

$$a=-\frac{4}{3}b+\frac{4}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-4b+4}{3} għal a fl-ekwazzjoni l-oħra, 7a+5b=9.

$$7\left(-\frac{4}{3}b+\frac{4}{3}\right)+5b=9$$

Immultiplika 7 b'\frac{-4b+4}{3}.

$$-\frac{28}{3}b+\frac{28}{3}+5b=9$$

Żid -\frac{28b}{3} ma' 5b.

$$-\frac{13}{3}b+\frac{28}{3}=9$$

Naqqas \frac{28}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{13}{3}b=-\frac{1}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{13}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$b=\frac{1}{13}$$

Issostitwixxi \frac{1}{13} għal b f'a=-\frac{4}{3}b+\frac{4}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a direttament.

$$a=-\frac{4}{3}\times \frac{1}{13}+\frac{4}{3}$$

Immultiplika -\frac{4}{3} b'\frac{1}{13} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$a=-\frac{4}{39}+\frac{4}{3}$$

Żid \frac{4}{3} ma' -\frac{4}{39} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$a=\frac{16}{13}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a=\frac{16}{13},b=\frac{1}{13}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3a+4b=4,7a+5b=9$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&4\\7&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\9\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\9\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-4\times 7}&-\frac{4}{3\times 5-4\times 7}\\-\frac{7}{3\times 5-4\times 7}&\frac{3}{3\times 5-4\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\9\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{13}&\frac{4}{13}\\\frac{7}{13}&-\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{13}\times 4+\frac{4}{13}\times 9\\\frac{7}{13}\times 4-\frac{3}{13}\times 9\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{13}\\\frac{1}{13}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi a u b.

$$a=\frac{16}{13},b=\frac{1}{13}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3a+4b=4,7a+5b=9$$

Biex tagħmel 3a u 7a ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'7 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$7\times 3a+7\times 4b=7\times 4,3\times 7a+3\times 5b=3\times 9$$

Issimplifika.

$$21a+28b=28,21a+15b=27$$

Naqqas 21a+15b=27 minn 21a+28b=28 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$21a-21a+28b-15b=28-27$$

Żid 21a ma' -21a. 21a u -21a jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$28b-15b=28-27$$

Żid 28b ma' -15b.

$$13b=28-27$$

Żid 28 ma' -27.

$$13b=1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'13.

$$b=\frac{1}{13}$$

Issostitwixxi \frac{1}{13} għal b f'7a+5b=9. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a direttament.

$$7a+5\times \frac{1}{13}=9$$

Immultiplika 5 b'\frac{1}{13}.

$$7a+\frac{5}{13}=9$$

Naqqas \frac{5}{13} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$7a=\frac{112}{13}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$a=\frac{16}{13}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a=\frac{16}{13},b=\frac{1}{13}$$