Issolvi {l}{3A-13c=-255}{31A-6c=-180}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 A - 13 c = - 255 } \\ { 31 A - 6 c = - 180 } \end{array} \right.$$

Solvi għal A, c

$$A = -\frac{162}{77} = -2\frac{8}{77} \approx -2.103896104$$

$$c = \frac{1473}{77} = 19\frac{10}{77} \approx 19.12987013$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal A billi tiżola A fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3A-13c=-255$$

Żid 13c maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3A=13c-255$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$A=\frac{1}{3}\left(13c-255\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'13c-255.

$$A=\frac{13}{3}c-85$$

Issostitwixxi \frac{13c}{3}-85 għal A fl-ekwazzjoni l-oħra, 31A-6c=-180.

$$31\left(\frac{13}{3}c-85\right)-6c=-180$$

Immultiplika 31 b'\frac{13c}{3}-85.

$$\frac{403}{3}c-2635-6c=-180$$

Żid \frac{403c}{3} ma' -6c.

$$\frac{385}{3}c-2635=-180$$

Żid 2635 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{385}{3}c=2455$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{385}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$c=\frac{1473}{77}$$

Issostitwixxi \frac{1473}{77} għal c f'A=\frac{13}{3}c-85. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal A direttament.

$$A=\frac{13}{3}\times \frac{1473}{77}-85$$

Immultiplika \frac{13}{3} b'\frac{1473}{77} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$A=\frac{6383}{77}-85$$

Żid -85 ma' \frac{6383}{77}.

$$A=-\frac{162}{77}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&-\frac{-13}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\\-\frac{31}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&\frac{3}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}&\frac{13}{385}\\-\frac{31}{385}&\frac{3}{385}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}\left(-255\right)+\frac{13}{385}\left(-180\right)\\-\frac{31}{385}\left(-255\right)+\frac{3}{385}\left(-180\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{162}{77}\\\frac{1473}{77}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi A u c.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

Biex tagħmel 3A u 31A ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'31 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$31\times 3A+31\left(-13\right)c=31\left(-255\right),3\times 31A+3\left(-6\right)c=3\left(-180\right)$$

Issimplifika.

$$93A-403c=-7905,93A-18c=-540$$

Naqqas 93A-18c=-540 minn 93A-403c=-7905 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$93A-93A-403c+18c=-7905+540$$

Żid 93A ma' -93A. 93A u -93A jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-403c+18c=-7905+540$$

Żid -403c ma' 18c.

$$-385c=-7905+540$$

Żid -7905 ma' 540.

$$-385c=-7365$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-385.

$$c=\frac{1473}{77}$$

Issostitwixxi \frac{1473}{77} għal c f'31A-6c=-180. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal A direttament.

$$31A-6\times \frac{1473}{77}=-180$$

Immultiplika -6 b'\frac{1473}{77}.

$$31A-\frac{8838}{77}=-180$$

Żid \frac{8838}{77} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$31A=-\frac{5022}{77}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'31.

$$A=-\frac{162}{77}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$