Issolvi {l}{25x+y=9}{1.6x+0.2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 25 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = -\frac{56}{17} = -3\frac{5}{17} \approx -3.294117647$$

$$y = \frac{1553}{17} = 91\frac{6}{17} \approx 91.352941176$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$25x+y=9$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$25x=-y+9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'25.

$$x=\frac{1}{25}\left(-y+9\right)$$

Immultiplika \frac{1}{25} b'-y+9.

$$x=-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25}$$

Issostitwixxi \frac{-y+9}{25} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 1.6x+0.2y=13.

$$1.6\left(-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25}\right)+0.2y=13$$

Immultiplika 1.6 b'\frac{-y+9}{25}.

$$-\frac{8}{125}y+\frac{72}{125}+0.2y=13$$

Żid -\frac{8y}{125} ma' \frac{y}{5}.

$$\frac{17}{125}y+\frac{72}{125}=13$$

Naqqas \frac{72}{125} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{17}{125}y=\frac{1553}{125}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{17}{125}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{1553}{17}$$

Issostitwixxi \frac{1553}{17} għal y f'x=-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{25}\times \frac{1553}{17}+\frac{9}{25}$$

Immultiplika -\frac{1}{25} b'\frac{1553}{17} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{1553}{425}+\frac{9}{25}$$

Żid \frac{9}{25} ma' -\frac{1553}{425} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-\frac{56}{17}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{25\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{25\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{25\times 0.2-1.6}&\frac{25}{25\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&-\frac{5}{17}\\-\frac{8}{17}&\frac{125}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 9-\frac{5}{17}\times 13\\-\frac{8}{17}\times 9+\frac{125}{17}\times 13\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{56}{17}\\\frac{1553}{17}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Biex tagħmel 25x u \frac{8x}{5} ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1.6 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'25.

$$1.6\times 25x+1.6y=1.6\times 9,25\times 1.6x+25\times 0.2y=25\times 13$$

Issimplifika.

$$40x+1.6y=14.4,40x+5y=325$$

Naqqas 40x+5y=325 minn 40x+1.6y=14.4 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$40x-40x+1.6y-5y=14.4-325$$

Żid 40x ma' -40x. 40x u -40x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$1.6y-5y=14.4-325$$

Żid \frac{8y}{5} ma' -5y.

$$-3.4y=14.4-325$$

Żid 14.4 ma' -325.

$$-3.4y=-310.6$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-3.4, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{1553}{17}$$

Issostitwixxi \frac{1553}{17} għal y f'1.6x+0.2y=13. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$1.6x+0.2\times \frac{1553}{17}=13$$

Immultiplika 0.2 b'\frac{1553}{17} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$1.6x+\frac{1553}{85}=13$$

Naqqas \frac{1553}{85} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$1.6x=-\frac{448}{85}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'1.6, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=-\frac{56}{17}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$