Issolvi {l}{25c+22T=152000}{11c+12T=75000}

$$\left. \begin{array} { l } { 25 c + 22 T = 152000 } \\ { 11 c + 12 T = 75000 } \end{array} \right.$$

Solvi għal c, T

$$c=3000$$

$$T=3500$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal c billi tiżola c fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$25c+22T=152000$$

Naqqas 22T miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$25c=-22T+152000$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'25.

$$c=\frac{1}{25}\left(-22T+152000\right)$$

Immultiplika \frac{1}{25} b'-22T+152000.

$$c=-\frac{22}{25}T+6080$$

Issostitwixxi -\frac{22T}{25}+6080 għal c fl-ekwazzjoni l-oħra, 11c+12T=75000.

$$11\left(-\frac{22}{25}T+6080\right)+12T=75000$$

Immultiplika 11 b'-\frac{22T}{25}+6080.

$$-\frac{242}{25}T+66880+12T=75000$$

Żid -\frac{242T}{25} ma' 12T.

$$\frac{58}{25}T+66880=75000$$

Naqqas 66880 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{58}{25}T=8120$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{58}{25}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$T=3500$$

Issostitwixxi 3500 għal T f'c=-\frac{22}{25}T+6080. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal c direttament.

$$c=-\frac{22}{25}\times 3500+6080$$

Immultiplika -\frac{22}{25} b'3500.

$$c=-3080+6080$$

Żid 6080 ma' -3080.

$$c=3000$$

Is-sistema issa solvuta.

$$c=3000,T=3500$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{25\times 12-22\times 11}&-\frac{22}{25\times 12-22\times 11}\\-\frac{11}{25\times 12-22\times 11}&\frac{25}{25\times 12-22\times 11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{29}&-\frac{11}{29}\\-\frac{11}{58}&\frac{25}{58}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{29}\times 152000-\frac{11}{29}\times 75000\\-\frac{11}{58}\times 152000+\frac{25}{58}\times 75000\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3000\\3500\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi c u T.

$$c=3000,T=3500$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

Biex tagħmel 25c u 11c ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'11 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'25.

$$11\times 25c+11\times 22T=11\times 152000,25\times 11c+25\times 12T=25\times 75000$$

Issimplifika.

$$275c+242T=1672000,275c+300T=1875000$$

Naqqas 275c+300T=1875000 minn 275c+242T=1672000 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$275c-275c+242T-300T=1672000-1875000$$

Żid 275c ma' -275c. 275c u -275c jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$242T-300T=1672000-1875000$$

Żid 242T ma' -300T.

$$-58T=1672000-1875000$$

Żid 1672000 ma' -1875000.

$$-58T=-203000$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-58.

$$T=3500$$

Issostitwixxi 3500 għal T f'11c+12T=75000. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal c direttament.

$$11c+12\times 3500=75000$$

Immultiplika 12 b'3500.

$$11c+42000=75000$$

Naqqas 42000 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$11c=33000$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'11.

$$c=3000$$

Is-sistema issa solvuta.

$$c=3000,T=3500$$