Issolvi {l}{25+(1/20+1/5+1/6)x=1/6y}{(frac{1}{20}+frac{1}{5}+frac{1}{6})y=frac{1}{6}x+25}

$$\left. \begin{array} { l } { 25 + ( \frac { 1 } { 20 } + \frac { 1 } { 5 } + \frac { 1 } { 6 } ) x = \frac { 1 } { 6 } y } \\ { ( \frac { 1 } { 20 } + \frac { 1 } { 5 } + \frac { 1 } { 6 } ) y = \frac { 1 } { 6 } x + 25 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = -\frac{300}{7} = -42\frac{6}{7} \approx -42.857142857$$

$$y = \frac{300}{7} = 42\frac{6}{7} \approx 42.857142857$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid \frac{1}{20} u \frac{1}{5} biex tikseb \frac{1}{4}.

$$25+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)x=\frac{1}{6}y$$

Żid \frac{1}{4} u \frac{1}{6} biex tikseb \frac{5}{12}.

$$25+\frac{5}{12}x=\frac{1}{6}y$$

Naqqas \frac{1}{6}y miż-żewġ naħat.

$$25+\frac{5}{12}x-\frac{1}{6}y=0$$

Naqqas 25 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$\frac{5}{12}x-\frac{1}{6}y=-25$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid \frac{1}{20} u \frac{1}{5} biex tikseb \frac{1}{4}.

$$\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)y=\frac{1}{6}x+25$$

Żid \frac{1}{4} u \frac{1}{6} biex tikseb \frac{5}{12}.

$$\frac{5}{12}y=\frac{1}{6}x+25$$

Naqqas \frac{1}{6}x miż-żewġ naħat.

$$\frac{5}{12}y-\frac{1}{6}x=25$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$\frac{5}{12}x-\frac{1}{6}y=-25,-\frac{1}{6}x+\frac{5}{12}y=25$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$\frac{5}{12}x-\frac{1}{6}y=-25$$

Żid \frac{y}{6} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{5}{12}x=\frac{1}{6}y-25$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{5}{12}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=\frac{12}{5}\left(\frac{1}{6}y-25\right)$$

Immultiplika \frac{12}{5} b'\frac{y}{6}-25.

$$x=\frac{2}{5}y-60$$

Issostitwixxi \frac{2y}{5}-60 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -\frac{1}{6}x+\frac{5}{12}y=25.

$$-\frac{1}{6}\left(\frac{2}{5}y-60\right)+\frac{5}{12}y=25$$

Immultiplika -\frac{1}{6} b'\frac{2y}{5}-60.

$$-\frac{1}{15}y+10+\frac{5}{12}y=25$$

Żid -\frac{y}{15} ma' \frac{5y}{12}.

$$\frac{7}{20}y+10=25$$

Naqqas 10 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{7}{20}y=15$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{7}{20}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{300}{7}$$

Issostitwixxi \frac{300}{7} għal y f'x=\frac{2}{5}y-60. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{2}{5}\times \frac{300}{7}-60$$

Immultiplika \frac{2}{5} b'\frac{300}{7} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{120}{7}-60$$

Żid -60 ma' \frac{120}{7}.

$$x=-\frac{300}{7}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{300}{7},y=\frac{300}{7}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid \frac{1}{20} u \frac{1}{5} biex tikseb \frac{1}{4}.

$$25+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)x=\frac{1}{6}y$$

Żid \frac{1}{4} u \frac{1}{6} biex tikseb \frac{5}{12}.

$$25+\frac{5}{12}x=\frac{1}{6}y$$

Naqqas \frac{1}{6}y miż-żewġ naħat.

$$25+\frac{5}{12}x-\frac{1}{6}y=0$$

Naqqas 25 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$\frac{5}{12}x-\frac{1}{6}y=-25$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid \frac{1}{20} u \frac{1}{5} biex tikseb \frac{1}{4}.

$$\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)y=\frac{1}{6}x+25$$

Żid \frac{1}{4} u \frac{1}{6} biex tikseb \frac{5}{12}.

$$\frac{5}{12}y=\frac{1}{6}x+25$$

Naqqas \frac{1}{6}x miż-żewġ naħat.

$$\frac{5}{12}y-\frac{1}{6}x=25$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$\frac{5}{12}x-\frac{1}{6}y=-25,-\frac{1}{6}x+\frac{5}{12}y=25$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{6}&\frac{5}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-25\\25\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{6}&\frac{5}{12}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{6}&\frac{5}{12}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{6}&\frac{5}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{6}&\frac{5}{12}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\25\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{6}&\frac{5}{12}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\25\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{6}&\frac{5}{12}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\25\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{5}{12}}{\frac{5}{12}\times \frac{5}{12}-\left(-\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{6}\right)\right)}&-\frac{-\frac{1}{6}}{\frac{5}{12}\times \frac{5}{12}-\left(-\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{6}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{6}}{\frac{5}{12}\times \frac{5}{12}-\left(-\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{6}\right)\right)}&\frac{\frac{5}{12}}{\frac{5}{12}\times \frac{5}{12}-\left(-\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{6}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-25\\25\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{7}&\frac{8}{7}\\\frac{8}{7}&\frac{20}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-25\\25\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{7}\left(-25\right)+\frac{8}{7}\times 25\\\frac{8}{7}\left(-25\right)+\frac{20}{7}\times 25\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{300}{7}\\\frac{300}{7}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{300}{7},y=\frac{300}{7}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid \frac{1}{20} u \frac{1}{5} biex tikseb \frac{1}{4}.

$$25+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)x=\frac{1}{6}y$$

Żid \frac{1}{4} u \frac{1}{6} biex tikseb \frac{5}{12}.

$$25+\frac{5}{12}x=\frac{1}{6}y$$

Naqqas \frac{1}{6}y miż-żewġ naħat.

$$25+\frac{5}{12}x-\frac{1}{6}y=0$$

Naqqas 25 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$\frac{5}{12}x-\frac{1}{6}y=-25$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid \frac{1}{20} u \frac{1}{5} biex tikseb \frac{1}{4}.

$$\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)y=\frac{1}{6}x+25$$

Żid \frac{1}{4} u \frac{1}{6} biex tikseb \frac{5}{12}.

$$\frac{5}{12}y=\frac{1}{6}x+25$$

Naqqas \frac{1}{6}x miż-żewġ naħat.

$$\frac{5}{12}y-\frac{1}{6}x=25$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$\frac{5}{12}x-\frac{1}{6}y=-25,-\frac{1}{6}x+\frac{5}{12}y=25$$

Biex tagħmel \frac{5x}{12} u -\frac{x}{6} ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-\frac{1}{6} u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'\frac{5}{12}.

$$-\frac{1}{6}\times \frac{5}{12}x-\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{6}\right)y=-\frac{1}{6}\left(-25\right),\frac{5}{12}\left(-\frac{1}{6}\right)x+\frac{5}{12}\times \frac{5}{12}y=\frac{5}{12}\times 25$$

Issimplifika.

$$-\frac{5}{72}x+\frac{1}{36}y=\frac{25}{6},-\frac{5}{72}x+\frac{25}{144}y=\frac{125}{12}$$

Naqqas -\frac{5}{72}x+\frac{25}{144}y=\frac{125}{12} minn -\frac{5}{72}x+\frac{1}{36}y=\frac{25}{6} billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-\frac{5}{72}x+\frac{5}{72}x+\frac{1}{36}y-\frac{25}{144}y=\frac{25}{6}-\frac{125}{12}$$

Żid -\frac{5x}{72} ma' \frac{5x}{72}. -\frac{5x}{72} u \frac{5x}{72} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$\frac{1}{36}y-\frac{25}{144}y=\frac{25}{6}-\frac{125}{12}$$

Żid \frac{y}{36} ma' -\frac{25y}{144}.

$$-\frac{7}{48}y=\frac{25}{6}-\frac{125}{12}$$

Żid \frac{25}{6} ma' -\frac{125}{12} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$-\frac{7}{48}y=-\frac{25}{4}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{7}{48}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{300}{7}$$

Issostitwixxi \frac{300}{7} għal y f'-\frac{1}{6}x+\frac{5}{12}y=25. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-\frac{1}{6}x+\frac{5}{12}\times \frac{300}{7}=25$$

Immultiplika \frac{5}{12} b'\frac{300}{7} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$-\frac{1}{6}x+\frac{125}{7}=25$$

Naqqas \frac{125}{7} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{1}{6}x=\frac{50}{7}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-6.

$$x=-\frac{300}{7}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{300}{7},y=\frac{300}{7}$$