Issolvi {l}{22x+y=50}{27x-y=96}

$$\left. \begin{array} { l } { 22 x + y = 50 } \\ { 27 x - y = 96 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{146}{49} = 2\frac{48}{49} \approx 2.979591837$$

$$y = -\frac{762}{49} = -15\frac{27}{49} \approx -15.551020408$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$22x+y=50,27x-y=96$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$22x+y=50$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$22x=-y+50$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'22.

$$x=\frac{1}{22}\left(-y+50\right)$$

Immultiplika \frac{1}{22} b'-y+50.

$$x=-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11}$$

Issostitwixxi -\frac{y}{22}+\frac{25}{11} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 27x-y=96.

$$27\left(-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11}\right)-y=96$$

Immultiplika 27 b'-\frac{y}{22}+\frac{25}{11}.

$$-\frac{27}{22}y+\frac{675}{11}-y=96$$

Żid -\frac{27y}{22} ma' -y.

$$-\frac{49}{22}y+\frac{675}{11}=96$$

Naqqas \frac{675}{11} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{49}{22}y=\frac{381}{11}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{49}{22}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{762}{49}$$

Issostitwixxi -\frac{762}{49} għal y f'x=-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{22}\left(-\frac{762}{49}\right)+\frac{25}{11}$$

Immultiplika -\frac{1}{22} b'-\frac{762}{49} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{381}{539}+\frac{25}{11}$$

Żid \frac{25}{11} ma' \frac{381}{539} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{146}{49}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$22x+y=50,27x-y=96$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{22\left(-1\right)-27}&-\frac{1}{22\left(-1\right)-27}\\-\frac{27}{22\left(-1\right)-27}&\frac{22}{22\left(-1\right)-27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{49}&\frac{1}{49}\\\frac{27}{49}&-\frac{22}{49}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{49}\times 50+\frac{1}{49}\times 96\\\frac{27}{49}\times 50-\frac{22}{49}\times 96\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{146}{49}\\-\frac{762}{49}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$22x+y=50,27x-y=96$$

Biex tagħmel 22x u 27x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'27 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'22.

$$27\times 22x+27y=27\times 50,22\times 27x+22\left(-1\right)y=22\times 96$$

Issimplifika.

$$594x+27y=1350,594x-22y=2112$$

Naqqas 594x-22y=2112 minn 594x+27y=1350 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$594x-594x+27y+22y=1350-2112$$

Żid 594x ma' -594x. 594x u -594x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$27y+22y=1350-2112$$

Żid 27y ma' 22y.

$$49y=1350-2112$$

Żid 1350 ma' -2112.

$$49y=-762$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'49.

$$y=-\frac{762}{49}$$

Issostitwixxi -\frac{762}{49} għal y f'27x-y=96. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$27x-\left(-\frac{762}{49}\right)=96$$

Naqqas \frac{762}{49} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$27x=\frac{3942}{49}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'27.

$$x=\frac{146}{49}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$