Issolvi {l}{2.5x+2.5y=17}{-1.5x-7.5y=-33}

$$\left. \begin{array} { l } { 2.5 x + 2.5 y = 17 } \\ { - 1.5 x - 7.5 y = - 33 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=3$$

$$y=3.8$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2.5x+2.5y=17$$

Naqqas \frac{5y}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2.5x=-2.5y+17$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2.5, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=0.4\left(-2.5y+17\right)$$

Immultiplika 0.4 b'-\frac{5y}{2}+17.

$$x=-y+6.8$$

Issostitwixxi -y+6.8 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -1.5x-7.5y=-33.

$$-1.5\left(-y+6.8\right)-7.5y=-33$$

Immultiplika -1.5 b'-y+6.8.

$$1.5y-10.2-7.5y=-33$$

Żid \frac{3y}{2} ma' -\frac{15y}{2}.

$$-6y-10.2=-33$$

Żid 10.2 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-6y=-22.8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-6.

$$y=3.8$$

Issostitwixxi 3.8 għal y f'x=-y+6.8. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-3.8+6.8$$

Immultiplika -1 b'3.8.

$$x=\frac{-19+34}{5}$$

Żid 6.8 ma' -3.8 biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=3.8$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}&-\frac{2.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}\\-\frac{-1.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}&\frac{2.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{10}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 17+\frac{1}{6}\left(-33\right)\\-\frac{1}{10}\times 17-\frac{1}{6}\left(-33\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{19}{5}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=3,y=\frac{19}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

Biex tagħmel \frac{5x}{2} u -\frac{3x}{2} ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-1.5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.5.

$$-1.5\times 2.5x-1.5\times 2.5y=-1.5\times 17,2.5\left(-1.5\right)x+2.5\left(-7.5\right)y=2.5\left(-33\right)$$

Issimplifika.

$$-3.75x-3.75y=-25.5,-3.75x-18.75y=-82.5$$

Naqqas -3.75x-18.75y=-82.5 minn -3.75x-3.75y=-25.5 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-3.75x+3.75x-3.75y+18.75y=\frac{-51+165}{2}$$

Żid -\frac{15x}{4} ma' \frac{15x}{4}. -\frac{15x}{4} u \frac{15x}{4} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-3.75y+18.75y=\frac{-51+165}{2}$$

Żid -\frac{15y}{4} ma' \frac{75y}{4}.

$$15y=\frac{-51+165}{2}$$

Żid -25.5 ma' 82.5 biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$15y=57$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'15.

$$y=\frac{19}{5}$$

Issostitwixxi \frac{19}{5} għal y f'-1.5x-7.5y=-33. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-1.5x-7.5\times \frac{19}{5}=-33$$

Immultiplika -7.5 b'\frac{19}{5} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$-1.5x-\frac{57}{2}=-33$$

Żid \frac{57}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-1.5x=-\frac{9}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-1.5, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=\frac{19}{5}$$