Issolvi {l}{2y-3x=-27}{5y+3x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y - 3 x = - 27 } \\ { 5 y + 3 x = 6 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=7$$

$$y=-3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2y-3x=-27$$

Żid 3x maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2y=3x-27$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-27\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-27+3x.

$$y=\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}$$

Issostitwixxi \frac{-27+3x}{2} għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, 5y+3x=6.

$$5\left(\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}\right)+3x=6$$

Immultiplika 5 b'\frac{-27+3x}{2}.

$$\frac{15}{2}x-\frac{135}{2}+3x=6$$

Żid \frac{15x}{2} ma' 3x.

$$\frac{21}{2}x-\frac{135}{2}=6$$

Żid \frac{135}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{21}{2}x=\frac{147}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{21}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=7$$

Issostitwixxi 7 għal x f'y=\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=\frac{3}{2}\times 7-\frac{27}{2}$$

Immultiplika \frac{3}{2} b'7.

$$y=\frac{21-27}{2}$$

Żid -\frac{27}{2} ma' \frac{21}{2} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$y=-3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-3,x=7$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{5}{21}&\frac{2}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-27\right)+\frac{1}{7}\times 6\\-\frac{5}{21}\left(-27\right)+\frac{2}{21}\times 6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=-3,x=7$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

Biex tagħmel 2y u 5y ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$5\times 2y+5\left(-3\right)x=5\left(-27\right),2\times 5y+2\times 3x=2\times 6$$

Issimplifika.

$$10y-15x=-135,10y+6x=12$$

Naqqas 10y+6x=12 minn 10y-15x=-135 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$10y-10y-15x-6x=-135-12$$

Żid 10y ma' -10y. 10y u -10y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-15x-6x=-135-12$$

Żid -15x ma' -6x.

$$-21x=-135-12$$

Żid -135 ma' -12.

$$-21x=-147$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-21.

$$x=7$$

Issostitwixxi 7 għal x f'5y+3x=6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$5y+3\times 7=6$$

Immultiplika 3 b'7.

$$5y+21=6$$

Naqqas 21 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5y=-15$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$y=-3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-3,x=7$$