Issolvi {l}{2x_{1}+3x_{2}=7}{4x_{1}-4x_{2}=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 7 } \\ { 4 x _ { 1 } - 4 x _ { 2 } = - 6 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x_1, x_2

$$x_{1}=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x_{2}=2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x_{1} billi tiżola x_{1} fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x_{1}+3x_{2}=7$$

Naqqas 3x_{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x_{1}=-3x_{2}+7$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+7\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-3x_{2}+7.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}$$

Issostitwixxi \frac{-3x_{2}+7}{2} għal x_{1} fl-ekwazzjoni l-oħra, 4x_{1}-4x_{2}=-6.

$$4\left(-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}\right)-4x_{2}=-6$$

Immultiplika 4 b'\frac{-3x_{2}+7}{2}.

$$-6x_{2}+14-4x_{2}=-6$$

Żid -6x_{2} ma' -4x_{2}.

$$-10x_{2}+14=-6$$

Naqqas 14 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-10x_{2}=-20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-10.

$$x_{2}=2$$

Issostitwixxi 2 għal x_{2} f'x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x_{1} direttament.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}\times 2+\frac{7}{2}$$

Immultiplika -\frac{3}{2} b'2.

$$x_{1}=-3+\frac{7}{2}$$

Żid \frac{7}{2} ma' -3.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{20}\left(-6\right)\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{10}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x_{1} u x_{2}.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Biex tagħmel 2x_{1} u 4x_{1} ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$4\times 2x_{1}+4\times 3x_{2}=4\times 7,2\times 4x_{1}+2\left(-4\right)x_{2}=2\left(-6\right)$$

Issimplifika.

$$8x_{1}+12x_{2}=28,8x_{1}-8x_{2}=-12$$

Naqqas 8x_{1}-8x_{2}=-12 minn 8x_{1}+12x_{2}=28 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$8x_{1}-8x_{1}+12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

Żid 8x_{1} ma' -8x_{1}. 8x_{1} u -8x_{1} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

Żid 12x_{2} ma' 8x_{2}.

$$20x_{2}=28+12$$

Żid 28 ma' 12.

$$20x_{2}=40$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'20.

$$x_{2}=2$$

Issostitwixxi 2 għal x_{2} f'4x_{1}-4x_{2}=-6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x_{1} direttament.

$$4x_{1}-4\times 2=-6$$

Immultiplika -4 b'2.

$$4x_{1}-8=-6$$

Żid 8 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x_{1}=2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$