Issolvi {l}{2x-y=4}{3x+6y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 4 } \\ { 3 x + 6 y = 2 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{26}{15} = 1\frac{11}{15} \approx 1.733333333$$

$$y=-\frac{8}{15}\approx -0.533333333$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x-y=4,3x+6y=2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x-y=4$$

Żid y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=y+4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+4\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'y+4.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

Issostitwixxi \frac{y}{2}+2 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x+6y=2.

$$3\left(\frac{1}{2}y+2\right)+6y=2$$

Immultiplika 3 b'\frac{y}{2}+2.

$$\frac{3}{2}y+6+6y=2$$

Żid \frac{3y}{2} ma' 6y.

$$\frac{15}{2}y+6=2$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{15}{2}y=-4$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{15}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{8}{15}$$

Issostitwixxi -\frac{8}{15} għal y f'x=\frac{1}{2}y+2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{8}{15}\right)+2$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-\frac{8}{15} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{4}{15}+2$$

Żid 2 ma' -\frac{4}{15}.

$$x=\frac{26}{15}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{26}{15},y=-\frac{8}{15}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x-y=4,3x+6y=2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&-1\\3&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\times 6-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\times 6-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 6-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{15}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 4+\frac{1}{15}\times 2\\-\frac{1}{5}\times 4+\frac{2}{15}\times 2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{26}{15}\\-\frac{8}{15}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{26}{15},y=-\frac{8}{15}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x-y=4,3x+6y=2$$

Biex tagħmel 2x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 4,2\times 3x+2\times 6y=2\times 2$$

Issimplifika.

$$6x-3y=12,6x+12y=4$$

Naqqas 6x+12y=4 minn 6x-3y=12 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x-3y-12y=12-4$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-3y-12y=12-4$$

Żid -3y ma' -12y.

$$-15y=12-4$$

Żid 12 ma' -4.

$$-15y=8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-15.

$$y=-\frac{8}{15}$$

Issostitwixxi -\frac{8}{15} għal y f'3x+6y=2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x+6\left(-\frac{8}{15}\right)=2$$

Immultiplika 6 b'-\frac{8}{15}.

$$3x-\frac{16}{5}=2$$

Żid \frac{16}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=\frac{26}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{26}{15}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{26}{15},y=-\frac{8}{15}$$