Issolvi {l}{2x-y=-2}{y=5x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = - 2 } \\ { y = 5 x - 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 5x miż-żewġ naħat.

$$y-5x=-1$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x-y=-2,-5x+y=-1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x-y=-2$$

Żid y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=y-2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y-2\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'y-2.

$$x=\frac{1}{2}y-1$$

Issostitwixxi \frac{y}{2}-1 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -5x+y=-1.

$$-5\left(\frac{1}{2}y-1\right)+y=-1$$

Immultiplika -5 b'\frac{y}{2}-1.

$$-\frac{5}{2}y+5+y=-1$$

Żid -\frac{5y}{2} ma' y.

$$-\frac{3}{2}y+5=-1$$

Naqqas 5 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{3}{2}y=-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{3}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=4$$

Issostitwixxi 4 għal y f'x=\frac{1}{2}y-1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{1}{2}\times 4-1$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'4.

$$x=2-1$$

Żid -1 ma' 2.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=4$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 5x miż-żewġ naħat.

$$y-5x=-1$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x-y=-2,-5x+y=-1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{5}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{1}{3}\left(-1\right)\\-\frac{5}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=1,y=4$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 5x miż-żewġ naħat.

$$y-5x=-1$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x-y=-2,-5x+y=-1$$

Biex tagħmel 2x u -5x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$-5\times 2x-5\left(-1\right)y=-5\left(-2\right),2\left(-5\right)x+2y=2\left(-1\right)$$

Issimplifika.

$$-10x+5y=10,-10x+2y=-2$$

Naqqas -10x+2y=-2 minn -10x+5y=10 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-10x+10x+5y-2y=10+2$$

Żid -10x ma' 10x. -10x u 10x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$5y-2y=10+2$$

Żid 5y ma' -2y.

$$3y=10+2$$

Żid 10 ma' 2.

$$3y=12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$y=4$$

Issostitwixxi 4 għal y f'-5x+y=-1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-5x+4=-1$$

Naqqas 4 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-5x=-5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=4$$