Issolvi {l}{2x-5y=4}{3x+2y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 4 } \\ { 3 x + 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{33}{19} = 1\frac{14}{19} \approx 1.736842105$$

$$y=-\frac{2}{19}\approx -0.105263158$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x-5y=4,3x+2y=5$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x-5y=4$$

Żid 5y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=5y+4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+4\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'5y+4.

$$x=\frac{5}{2}y+2$$

Issostitwixxi \frac{5y}{2}+2 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x+2y=5.

$$3\left(\frac{5}{2}y+2\right)+2y=5$$

Immultiplika 3 b'\frac{5y}{2}+2.

$$\frac{15}{2}y+6+2y=5$$

Żid \frac{15y}{2} ma' 2y.

$$\frac{19}{2}y+6=5$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{19}{2}y=-1$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{19}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{2}{19}$$

Issostitwixxi -\frac{2}{19} għal y f'x=\frac{5}{2}y+2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{5}{2}\left(-\frac{2}{19}\right)+2$$

Immultiplika \frac{5}{2} b'-\frac{2}{19} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{5}{19}+2$$

Żid 2 ma' -\frac{5}{19}.

$$x=\frac{33}{19}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{33}{19},y=-\frac{2}{19}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x-5y=4,3x+2y=5$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 4+\frac{5}{19}\times 5\\-\frac{3}{19}\times 4+\frac{2}{19}\times 5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{19}\\-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{33}{19},y=-\frac{2}{19}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x-5y=4,3x+2y=5$$

Biex tagħmel 2x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$3\times 2x+3\left(-5\right)y=3\times 4,2\times 3x+2\times 2y=2\times 5$$

Issimplifika.

$$6x-15y=12,6x+4y=10$$

Naqqas 6x+4y=10 minn 6x-15y=12 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x-15y-4y=12-10$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-15y-4y=12-10$$

Żid -15y ma' -4y.

$$-19y=12-10$$

Żid 12 ma' -10.

$$-19y=2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-19.

$$y=-\frac{2}{19}$$

Issostitwixxi -\frac{2}{19} għal y f'3x+2y=5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x+2\left(-\frac{2}{19}\right)=5$$

Immultiplika 2 b'-\frac{2}{19}.

$$3x-\frac{4}{19}=5$$

Żid \frac{4}{19} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=\frac{99}{19}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{33}{19}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{33}{19},y=-\frac{2}{19}$$