Issolvi {l}{2x-5y=10}{4x+y=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 10 } \\ { 4 x + y = 15 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{85}{22} = 3\frac{19}{22} \approx 3.863636364$$

$$y=-\frac{5}{11}\approx -0.454545455$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x-5y=10,4x+y=15$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x-5y=10$$

Żid 5y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=5y+10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+10\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'10+5y.

$$x=\frac{5}{2}y+5$$

Issostitwixxi 5+\frac{5y}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 4x+y=15.

$$4\left(\frac{5}{2}y+5\right)+y=15$$

Immultiplika 4 b'5+\frac{5y}{2}.

$$10y+20+y=15$$

Żid 10y ma' y.

$$11y+20=15$$

Naqqas 20 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$11y=-5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'11.

$$y=-\frac{5}{11}$$

Issostitwixxi -\frac{5}{11} għal y f'x=\frac{5}{2}y+5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{5}{2}\left(-\frac{5}{11}\right)+5$$

Immultiplika \frac{5}{2} b'-\frac{5}{11} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{25}{22}+5$$

Żid 5 ma' -\frac{25}{22}.

$$x=\frac{85}{22}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{85}{22},y=-\frac{5}{11}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x-5y=10,4x+y=15$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}\times 10+\frac{5}{22}\times 15\\-\frac{2}{11}\times 10+\frac{1}{11}\times 15\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{85}{22}\\-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{85}{22},y=-\frac{5}{11}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x-5y=10,4x+y=15$$

Biex tagħmel 2x u 4x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$4\times 2x+4\left(-5\right)y=4\times 10,2\times 4x+2y=2\times 15$$

Issimplifika.

$$8x-20y=40,8x+2y=30$$

Naqqas 8x+2y=30 minn 8x-20y=40 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$8x-8x-20y-2y=40-30$$

Żid 8x ma' -8x. 8x u -8x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-20y-2y=40-30$$

Żid -20y ma' -2y.

$$-22y=40-30$$

Żid 40 ma' -30.

$$-22y=10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-22.

$$y=-\frac{5}{11}$$

Issostitwixxi -\frac{5}{11} għal y f'4x+y=15. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$4x-\frac{5}{11}=15$$

Żid \frac{5}{11} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=\frac{170}{11}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{85}{22}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{85}{22},y=-\frac{5}{11}$$