Issolvi {l}{2x-4y=10}{6x-4y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 4 y = 10 } \\ { 6 x - 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y = -\frac{19}{8} = -2\frac{3}{8} = -2.375$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x-4y=10$$

Żid 4y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=4y+10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(4y+10\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'4y+10.

$$x=2y+5$$

Issostitwixxi 2y+5 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 6x-4y=11.

$$6\left(2y+5\right)-4y=11$$

Immultiplika 6 b'2y+5.

$$12y+30-4y=11$$

Żid 12y ma' -4y.

$$8y+30=11$$

Naqqas 30 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$8y=-19$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'8.

$$y=-\frac{19}{8}$$

Issostitwixxi -\frac{19}{8} għal y f'x=2y+5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=2\left(-\frac{19}{8}\right)+5$$

Immultiplika 2 b'-\frac{19}{8}.

$$x=-\frac{19}{4}+5$$

Żid 5 ma' -\frac{19}{4}.

$$x=\frac{1}{4}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}&-\frac{-4}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}\\-\frac{6}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 10+\frac{1}{4}\times 11\\-\frac{3}{8}\times 10+\frac{1}{8}\times 11\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\-\frac{19}{8}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

Naqqas 6x-4y=11 minn 2x-4y=10 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2x-6x-4y+4y=10-11$$

Żid -4y ma' 4y. -4y u 4y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2x-6x=10-11$$

Żid 2x ma' -6x.

$$-4x=10-11$$

Żid 10 ma' -11.

$$-4x=-1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$x=\frac{1}{4}$$

Issostitwixxi \frac{1}{4} għal x f'6x-4y=11. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$6\times \frac{1}{4}-4y=11$$

Immultiplika 6 b'\frac{1}{4}.

$$\frac{3}{2}-4y=11$$

Naqqas \frac{3}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-4y=\frac{19}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$y=-\frac{19}{8}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$