Issolvi {l}{2x-4y=-2}{3x+2y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 4 y = - 2 } \\ { 3 x + 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=\frac{3}{4}=0.75$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x-4y=-2,3x+2y=3$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x-4y=-2$$

Żid 4y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=4y-2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(4y-2\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'4y-2.

$$x=2y-1$$

Issostitwixxi 2y-1 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x+2y=3.

$$3\left(2y-1\right)+2y=3$$

Immultiplika 3 b'2y-1.

$$6y-3+2y=3$$

Żid 6y ma' 2y.

$$8y-3=3$$

Żid 3 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$8y=6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'8.

$$y=\frac{3}{4}$$

Issostitwixxi \frac{3}{4} għal y f'x=2y-1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=2\times \frac{3}{4}-1$$

Immultiplika 2 b'\frac{3}{4}.

$$x=\frac{3}{2}-1$$

Żid -1 ma' \frac{3}{2}.

$$x=\frac{1}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x-4y=-2,3x+2y=3$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{2\times 2-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-4\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{16}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\left(-2\right)+\frac{1}{4}\times 3\\-\frac{3}{16}\left(-2\right)+\frac{1}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x-4y=-2,3x+2y=3$$

Biex tagħmel 2x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$3\times 2x+3\left(-4\right)y=3\left(-2\right),2\times 3x+2\times 2y=2\times 3$$

Issimplifika.

$$6x-12y=-6,6x+4y=6$$

Naqqas 6x+4y=6 minn 6x-12y=-6 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x-12y-4y=-6-6$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-12y-4y=-6-6$$

Żid -12y ma' -4y.

$$-16y=-6-6$$

Żid -6 ma' -6.

$$-16y=-12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-16.

$$y=\frac{3}{4}$$

Issostitwixxi \frac{3}{4} għal y f'3x+2y=3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x+2\times \frac{3}{4}=3$$

Immultiplika 2 b'\frac{3}{4}.

$$3x+\frac{3}{2}=3$$

Naqqas \frac{3}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=\frac{3}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$