Issolvi {l}{2x-3y-10=0}{2y=-17-3x}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 2 y = - 17 - 3 x } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = -\frac{31}{13} = -2\frac{5}{13} \approx -2.384615385$$

$$y = -\frac{64}{13} = -4\frac{12}{13} \approx -4.923076923$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 10 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$2x-3y=10$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 3x maż-żewġ naħat.

$$2y+3x=-17$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x-3y=10,3x+2y=-17$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x-3y=10$$

Żid 3y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=3y+10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+10\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'3y+10.

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

Issostitwixxi \frac{3y}{2}+5 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x+2y=-17.

$$3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+2y=-17$$

Immultiplika 3 b'\frac{3y}{2}+5.

$$\frac{9}{2}y+15+2y=-17$$

Żid \frac{9y}{2} ma' 2y.

$$\frac{13}{2}y+15=-17$$

Naqqas 15 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{13}{2}y=-32$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{13}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{64}{13}$$

Issostitwixxi -\frac{64}{13} għal y f'x=\frac{3}{2}y+5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{64}{13}\right)+5$$

Immultiplika \frac{3}{2} b'-\frac{64}{13} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{96}{13}+5$$

Żid 5 ma' -\frac{96}{13}.

$$x=-\frac{31}{13}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{31}{13},y=-\frac{64}{13}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 10 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$2x-3y=10$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 3x maż-żewġ naħat.

$$2y+3x=-17$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x-3y=10,3x+2y=-17$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 10+\frac{3}{13}\left(-17\right)\\-\frac{3}{13}\times 10+\frac{2}{13}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{31}{13}\\-\frac{64}{13}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{31}{13},y=-\frac{64}{13}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 10 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$2x-3y=10$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 3x maż-żewġ naħat.

$$2y+3x=-17$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x-3y=10,3x+2y=-17$$

Biex tagħmel 2x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 10,2\times 3x+2\times 2y=2\left(-17\right)$$

Issimplifika.

$$6x-9y=30,6x+4y=-34$$

Naqqas 6x+4y=-34 minn 6x-9y=30 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x-9y-4y=30+34$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-9y-4y=30+34$$

Żid -9y ma' -4y.

$$-13y=30+34$$

Żid 30 ma' 34.

$$-13y=64$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-13.

$$y=-\frac{64}{13}$$

Issostitwixxi -\frac{64}{13} għal y f'3x+2y=-17. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x+2\left(-\frac{64}{13}\right)=-17$$

Immultiplika 2 b'-\frac{64}{13}.

$$3x-\frac{128}{13}=-17$$

Żid \frac{128}{13} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-\frac{93}{13}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=-\frac{31}{13}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{31}{13},y=-\frac{64}{13}$$