Issolvi {l}{2x-3y-10=0}{17y=-11-3x}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 17 y = - 11 - 3 x } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{137}{43} = 3\frac{8}{43} \approx 3.186046512$$

$$y = -\frac{52}{43} = -1\frac{9}{43} \approx -1.209302326$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 10 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$2x-3y=10$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 3x maż-żewġ naħat.

$$17y+3x=-11$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x-3y=10,3x+17y=-11$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x-3y=10$$

Żid 3y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=3y+10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+10\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'3y+10.

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

Issostitwixxi \frac{3y}{2}+5 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x+17y=-11.

$$3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+17y=-11$$

Immultiplika 3 b'\frac{3y}{2}+5.

$$\frac{9}{2}y+15+17y=-11$$

Żid \frac{9y}{2} ma' 17y.

$$\frac{43}{2}y+15=-11$$

Naqqas 15 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{43}{2}y=-26$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{43}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{52}{43}$$

Issostitwixxi -\frac{52}{43} għal y f'x=\frac{3}{2}y+5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{52}{43}\right)+5$$

Immultiplika \frac{3}{2} b'-\frac{52}{43} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{78}{43}+5$$

Żid 5 ma' -\frac{78}{43}.

$$x=\frac{137}{43}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{137}{43},y=-\frac{52}{43}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 10 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$2x-3y=10$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 3x maż-żewġ naħat.

$$17y+3x=-11$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x-3y=10,3x+17y=-11$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{43}&\frac{3}{43}\\-\frac{3}{43}&\frac{2}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{43}\times 10+\frac{3}{43}\left(-11\right)\\-\frac{3}{43}\times 10+\frac{2}{43}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{137}{43}\\-\frac{52}{43}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{137}{43},y=-\frac{52}{43}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 10 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$2x-3y=10$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 3x maż-żewġ naħat.

$$17y+3x=-11$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x-3y=10,3x+17y=-11$$

Biex tagħmel 2x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 10,2\times 3x+2\times 17y=2\left(-11\right)$$

Issimplifika.

$$6x-9y=30,6x+34y=-22$$

Naqqas 6x+34y=-22 minn 6x-9y=30 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x-9y-34y=30+22$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-9y-34y=30+22$$

Żid -9y ma' -34y.

$$-43y=30+22$$

Żid 30 ma' 22.

$$-43y=52$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-43.

$$y=-\frac{52}{43}$$

Issostitwixxi -\frac{52}{43} għal y f'3x+17y=-11. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x+17\left(-\frac{52}{43}\right)=-11$$

Immultiplika 17 b'-\frac{52}{43}.

$$3x-\frac{884}{43}=-11$$

Żid \frac{884}{43} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=\frac{411}{43}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{137}{43}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{137}{43},y=-\frac{52}{43}$$