Issolvi {l}{2x-3y=4}{5x-y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 4 } \\ { 5 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{2}{13}\approx 0.153846154$$

$$y = -\frac{16}{13} = -1\frac{3}{13} \approx -1.230769231$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x-3y=4,5x-y=2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x-3y=4$$

Żid 3y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=3y+4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+4\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'3y+4.

$$x=\frac{3}{2}y+2$$

Issostitwixxi \frac{3y}{2}+2 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 5x-y=2.

$$5\left(\frac{3}{2}y+2\right)-y=2$$

Immultiplika 5 b'\frac{3y}{2}+2.

$$\frac{15}{2}y+10-y=2$$

Żid \frac{15y}{2} ma' -y.

$$\frac{13}{2}y+10=2$$

Naqqas 10 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{13}{2}y=-8$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{13}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{16}{13}$$

Issostitwixxi -\frac{16}{13} għal y f'x=\frac{3}{2}y+2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{16}{13}\right)+2$$

Immultiplika \frac{3}{2} b'-\frac{16}{13} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{24}{13}+2$$

Żid 2 ma' -\frac{24}{13}.

$$x=\frac{2}{13}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{2}{13},y=-\frac{16}{13}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x-3y=4,5x-y=2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 4+\frac{3}{13}\times 2\\-\frac{5}{13}\times 4+\frac{2}{13}\times 2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\\-\frac{16}{13}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{2}{13},y=-\frac{16}{13}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x-3y=4,5x-y=2$$

Biex tagħmel 2x u 5x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y=5\times 4,2\times 5x+2\left(-1\right)y=2\times 2$$

Issimplifika.

$$10x-15y=20,10x-2y=4$$

Naqqas 10x-2y=4 minn 10x-15y=20 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$10x-10x-15y+2y=20-4$$

Żid 10x ma' -10x. 10x u -10x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-15y+2y=20-4$$

Żid -15y ma' 2y.

$$-13y=20-4$$

Żid 20 ma' -4.

$$-13y=16$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-13.

$$y=-\frac{16}{13}$$

Issostitwixxi -\frac{16}{13} għal y f'5x-y=2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$5x-\left(-\frac{16}{13}\right)=2$$

Naqqas \frac{16}{13} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=\frac{10}{13}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{2}{13}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{2}{13},y=-\frac{16}{13}$$