Issolvi {l}{2x-3y=0}{-x+15y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 0 } \\ { - x + 15 y = 3 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=\frac{2}{9}\approx 0.222222222$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x-3y=0,-x+15y=3$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x-3y=0$$

Żid 3y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=3y$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\times 3y$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'3y.

$$x=\frac{3}{2}y$$

Issostitwixxi \frac{3y}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -x+15y=3.

$$-\frac{3}{2}y+15y=3$$

Żid -\frac{3y}{2} ma' 15y.

$$\frac{27}{2}y=3$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{27}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{2}{9}$$

Issostitwixxi \frac{2}{9} għal y f'x=\frac{3}{2}y. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{2}{9}$$

Immultiplika \frac{3}{2} b'\frac{2}{9} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{1}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{2}{9}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x-3y=0,-x+15y=3$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{2\times 15-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{2\times 15-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\times 15-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\times 15-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{27}&\frac{2}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 3\\\frac{2}{27}\times 3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{2}{9}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x-3y=0,-x+15y=3$$

Biex tagħmel 2x u -x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$-2x-\left(-3y\right)=0,2\left(-1\right)x+2\times 15y=2\times 3$$

Issimplifika.

$$-2x+3y=0,-2x+30y=6$$

Naqqas -2x+30y=6 minn -2x+3y=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-2x+2x+3y-30y=-6$$

Żid -2x ma' 2x. -2x u 2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$3y-30y=-6$$

Żid 3y ma' -30y.

$$-27y=-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-27.

$$y=\frac{2}{9}$$

Issostitwixxi \frac{2}{9} għal y f'-x+15y=3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-x+15\times \frac{2}{9}=3$$

Immultiplika 15 b'\frac{2}{9}.

$$-x+\frac{10}{3}=3$$

Naqqas \frac{10}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-x=-\frac{1}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=\frac{1}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{2}{9}$$