Issolvi {l}{2x-2+4y=1/2}{8(y-1/2)=9(x+1)-4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 2 + 4 y = \frac { 1 } { 2 } } \\ { 8 ( y - \frac { 1 } { 2 } ) = 9 ( x + 1 ) - 4 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-\frac{4}{13}\approx -0.307692308$$

$$y=\frac{81}{104}\approx 0.778846154$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 2 maż-żewġ naħat.

$$2x+4y=\frac{1}{2}+2$$

Żid \frac{1}{2} u 2 biex tikseb \frac{5}{2}.

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 8 b'y-\frac{1}{2}.

$$8y-4=9\left(x+1\right)-4$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 9 b'x+1.

$$8y-4=9x+9-4$$

Naqqas 4 minn 9 biex tikseb 5.

$$8y-4=9x+5$$

Naqqas 9x miż-żewġ naħat.

$$8y-4-9x=5$$

Żid 4 maż-żewġ naħat.

$$8y-9x=5+4$$

Żid 5 u 4 biex tikseb 9.

$$8y-9x=9$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+4y=\frac{5}{2},-9x+8y=9$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

Naqqas 4y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-4y+\frac{5}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+\frac{5}{2}\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-4y+\frac{5}{2}.

$$x=-2y+\frac{5}{4}$$

Issostitwixxi -2y+\frac{5}{4} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -9x+8y=9.

$$-9\left(-2y+\frac{5}{4}\right)+8y=9$$

Immultiplika -9 b'-2y+\frac{5}{4}.

$$18y-\frac{45}{4}+8y=9$$

Żid 18y ma' 8y.

$$26y-\frac{45}{4}=9$$

Żid \frac{45}{4} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$26y=\frac{81}{4}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'26.

$$y=\frac{81}{104}$$

Issostitwixxi \frac{81}{104} għal y f'x=-2y+\frac{5}{4}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-2\times \frac{81}{104}+\frac{5}{4}$$

Immultiplika -2 b'\frac{81}{104}.

$$x=-\frac{81}{52}+\frac{5}{4}$$

Żid \frac{5}{4} ma' -\frac{81}{52} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-\frac{4}{13}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{4}{13},y=\frac{81}{104}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 2 maż-żewġ naħat.

$$2x+4y=\frac{1}{2}+2$$

Żid \frac{1}{2} u 2 biex tikseb \frac{5}{2}.

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 8 b'y-\frac{1}{2}.

$$8y-4=9\left(x+1\right)-4$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 9 b'x+1.

$$8y-4=9x+9-4$$

Naqqas 4 minn 9 biex tikseb 5.

$$8y-4=9x+5$$

Naqqas 9x miż-żewġ naħat.

$$8y-4-9x=5$$

Żid 4 maż-żewġ naħat.

$$8y-9x=5+4$$

Żid 5 u 4 biex tikseb 9.

$$8y-9x=9$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+4y=\frac{5}{2},-9x+8y=9$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-4\left(-9\right)}&-\frac{4}{2\times 8-4\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{2\times 8-4\left(-9\right)}&\frac{2}{2\times 8-4\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{1}{13}\\\frac{9}{52}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times \frac{5}{2}-\frac{1}{13}\times 9\\\frac{9}{52}\times \frac{5}{2}+\frac{1}{26}\times 9\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\\\frac{81}{104}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{4}{13},y=\frac{81}{104}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 2 maż-żewġ naħat.

$$2x+4y=\frac{1}{2}+2$$

Żid \frac{1}{2} u 2 biex tikseb \frac{5}{2}.

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 8 b'y-\frac{1}{2}.

$$8y-4=9\left(x+1\right)-4$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 9 b'x+1.

$$8y-4=9x+9-4$$

Naqqas 4 minn 9 biex tikseb 5.

$$8y-4=9x+5$$

Naqqas 9x miż-żewġ naħat.

$$8y-4-9x=5$$

Żid 4 maż-żewġ naħat.

$$8y-9x=5+4$$

Żid 5 u 4 biex tikseb 9.

$$8y-9x=9$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+4y=\frac{5}{2},-9x+8y=9$$

Biex tagħmel 2x u -9x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-9 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$-9\times 2x-9\times 4y=-9\times \frac{5}{2},2\left(-9\right)x+2\times 8y=2\times 9$$

Issimplifika.

$$-18x-36y=-\frac{45}{2},-18x+16y=18$$

Naqqas -18x+16y=18 minn -18x-36y=-\frac{45}{2} billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-18x+18x-36y-16y=-\frac{45}{2}-18$$

Żid -18x ma' 18x. -18x u 18x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-36y-16y=-\frac{45}{2}-18$$

Żid -36y ma' -16y.

$$-52y=-\frac{45}{2}-18$$

Żid -\frac{45}{2} ma' -18.

$$-52y=-\frac{81}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-52.

$$y=\frac{81}{104}$$

Issostitwixxi \frac{81}{104} għal y f'-9x+8y=9. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-9x+8\times \frac{81}{104}=9$$

Immultiplika 8 b'\frac{81}{104}.

$$-9x+\frac{81}{13}=9$$

Naqqas \frac{81}{13} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-9x=\frac{36}{13}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-9.

$$x=-\frac{4}{13}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{4}{13},y=\frac{81}{104}$$