Issolvi {l}{2x+y-8=0}{x-3y+10=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y - 8 = 0 } \\ { x - 3 y + 10 = 0 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=2$$

$$y=4$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+y-8=0,x-3y+10=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+y-8=0$$

Żid 8 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x+y=8$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-y+8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+8\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-y+8.

$$x=-\frac{1}{2}y+4$$

Issostitwixxi -\frac{y}{2}+4 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x-3y+10=0.

$$-\frac{1}{2}y+4-3y+10=0$$

Żid -\frac{y}{2} ma' -3y.

$$-\frac{7}{2}y+4+10=0$$

Żid 4 ma' 10.

$$-\frac{7}{2}y+14=0$$

Naqqas 14 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{7}{2}y=-14$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{7}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=4$$

Issostitwixxi 4 għal y f'x=-\frac{1}{2}y+4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{2}\times 4+4$$

Immultiplika -\frac{1}{2} b'4.

$$x=-2+4$$

Żid 4 ma' -2.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=4$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+y-8=0,x-3y+10=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&1\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-10\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-10\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-3\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-3\right)-1}&\frac{2}{2\left(-3\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-10\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 8+\frac{1}{7}\left(-10\right)\\\frac{1}{7}\times 8-\frac{2}{7}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=2,y=4$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+y-8=0,x-3y+10=0$$

Biex tagħmel 2x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$2x+y-8=0,2x+2\left(-3\right)y+2\times 10=0$$

Issimplifika.

$$2x+y-8=0,2x-6y+20=0$$

Naqqas 2x-6y+20=0 minn 2x+y-8=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2x-2x+y+6y-8-20=0$$

Żid 2x ma' -2x. 2x u -2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$y+6y-8-20=0$$

Żid y ma' 6y.

$$7y-8-20=0$$

Żid -8 ma' -20.

$$7y-28=0$$

Żid 28 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$7y=28$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$y=4$$

Issostitwixxi 4 għal y f'x-3y+10=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x-3\times 4+10=0$$

Immultiplika -3 b'4.

$$x-12+10=0$$

Żid -12 ma' 10.

$$x-2=0$$

Żid 2 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=4$$