Issolvi {l}{2x+y=4}{x+3y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 4 } \\ { x + 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{4}{5}=0.8$$

$$y = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} = 2.4$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+y=4,x+3y=8$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+y=4$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-y+4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+4\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-y+4.

$$x=-\frac{1}{2}y+2$$

Issostitwixxi -\frac{y}{2}+2 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x+3y=8.

$$-\frac{1}{2}y+2+3y=8$$

Żid -\frac{y}{2} ma' 3y.

$$\frac{5}{2}y+2=8$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{5}{2}y=6$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{5}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{12}{5}$$

Issostitwixxi \frac{12}{5} għal y f'x=-\frac{1}{2}y+2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{12}{5}+2$$

Immultiplika -\frac{1}{2} b'\frac{12}{5} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{6}{5}+2$$

Żid 2 ma' -\frac{6}{5}.

$$x=\frac{4}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{4}{5},y=\frac{12}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+y=4,x+3y=8$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-1}&-\frac{1}{2\times 3-1}\\-\frac{1}{2\times 3-1}&\frac{2}{2\times 3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 4-\frac{1}{5}\times 8\\-\frac{1}{5}\times 4+\frac{2}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\\frac{12}{5}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{4}{5},y=\frac{12}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+y=4,x+3y=8$$

Biex tagħmel 2x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$2x+y=4,2x+2\times 3y=2\times 8$$

Issimplifika.

$$2x+y=4,2x+6y=16$$

Naqqas 2x+6y=16 minn 2x+y=4 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2x-2x+y-6y=4-16$$

Żid 2x ma' -2x. 2x u -2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$y-6y=4-16$$

Żid y ma' -6y.

$$-5y=4-16$$

Żid 4 ma' -16.

$$-5y=-12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$y=\frac{12}{5}$$

Issostitwixxi \frac{12}{5} għal y f'x+3y=8. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x+3\times \frac{12}{5}=8$$

Immultiplika 3 b'\frac{12}{5}.

$$x+\frac{36}{5}=8$$

Naqqas \frac{36}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=\frac{4}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{4}{5},y=\frac{12}{5}$$