Issolvi {l}{2x+y=4}{2x-y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 4 } \\ { 2 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+y=4,2x-y=2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+y=4$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-y+4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+4\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-y+4.

$$x=-\frac{1}{2}y+2$$

Issostitwixxi -\frac{y}{2}+2 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x-y=2.

$$2\left(-\frac{1}{2}y+2\right)-y=2$$

Immultiplika 2 b'-\frac{y}{2}+2.

$$-y+4-y=2$$

Żid -y ma' -y.

$$-2y+4=2$$

Naqqas 4 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2y=-2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'x=-\frac{1}{2}y+2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{2}+2$$

Żid 2 ma' -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+y=4,2x-y=2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{2\left(-1\right)-2}&\frac{2}{2\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4+\frac{1}{4}\times 2\\\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+y=4,2x-y=2$$

Naqqas 2x-y=2 minn 2x+y=4 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2x-2x+y+y=4-2$$

Żid 2x ma' -2x. 2x u -2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$y+y=4-2$$

Żid y ma' y.

$$2y=4-2$$

Żid 4 ma' -2.

$$2y=2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'2x-y=2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x-1=2$$

Żid 1 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$