Issolvi {l}{2x+y=3}{y=2x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { y = 2 x + 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$y-2x=1$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+y=3,-2x+y=1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+y=3$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-y+3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Issostitwixxi \frac{-y+3}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -2x+y=1.

$$-2\left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)+y=1$$

Immultiplika -2 b'\frac{-y+3}{2}.

$$y-3+y=1$$

Żid y ma' y.

$$2y-3=1$$

Żid 3 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2y=4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+\frac{3}{2}$$

Immultiplika -\frac{1}{2} b'2.

$$x=-1+\frac{3}{2}$$

Żid \frac{3}{2} ma' -1.

$$x=\frac{1}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{1}{2},y=2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$y-2x=1$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+y=3,-2x+y=1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&1\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-2\right)}&-\frac{1}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2-\left(-2\right)}&\frac{2}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 3-\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{1}{2},y=2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$y-2x=1$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+y=3,-2x+y=1$$

Naqqas -2x+y=1 minn 2x+y=3 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2x+2x+y-y=3-1$$

Żid y ma' -y. y u -y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2x+2x=3-1$$

Żid 2x ma' 2x.

$$4x=3-1$$

Żid 3 ma' -1.

$$4x=2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{2}$$

Issostitwixxi \frac{1}{2} għal x f'-2x+y=1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$-2\times \frac{1}{2}+y=1$$

Immultiplika -2 b'\frac{1}{2}.

$$-1+y=1$$

Żid 1 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{1}{2},y=2$$