Issolvi {l}{2x+y=12}{3x-2y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 12 } \\ { 3 x - 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{32}{7} = 4\frac{4}{7} \approx 4.571428571$$

$$y = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7} \approx 2.857142857$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+y=12,3x-2y=8$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+y=12$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-y+12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+12\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-y+12.

$$x=-\frac{1}{2}y+6$$

Issostitwixxi -\frac{y}{2}+6 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x-2y=8.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+6\right)-2y=8$$

Immultiplika 3 b'-\frac{y}{2}+6.

$$-\frac{3}{2}y+18-2y=8$$

Żid -\frac{3y}{2} ma' -2y.

$$-\frac{7}{2}y+18=8$$

Naqqas 18 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{7}{2}y=-10$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{7}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{20}{7}$$

Issostitwixxi \frac{20}{7} għal y f'x=-\frac{1}{2}y+6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{20}{7}+6$$

Immultiplika -\frac{1}{2} b'\frac{20}{7} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{10}{7}+6$$

Żid 6 ma' -\frac{10}{7}.

$$x=\frac{32}{7}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{32}{7},y=\frac{20}{7}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+y=12,3x-2y=8$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3}&-\frac{1}{2\left(-2\right)-3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 12+\frac{1}{7}\times 8\\\frac{3}{7}\times 12-\frac{2}{7}\times 8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{32}{7}\\\frac{20}{7}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{32}{7},y=\frac{20}{7}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+y=12,3x-2y=8$$

Biex tagħmel 2x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$3\times 2x+3y=3\times 12,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 8$$

Issimplifika.

$$6x+3y=36,6x-4y=16$$

Naqqas 6x-4y=16 minn 6x+3y=36 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x+3y+4y=36-16$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$3y+4y=36-16$$

Żid 3y ma' 4y.

$$7y=36-16$$

Żid 36 ma' -16.

$$7y=20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$y=\frac{20}{7}$$

Issostitwixxi \frac{20}{7} għal y f'3x-2y=8. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x-2\times \frac{20}{7}=8$$

Immultiplika -2 b'\frac{20}{7}.

$$3x-\frac{40}{7}=8$$

Żid \frac{40}{7} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=\frac{96}{7}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{32}{7}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{32}{7},y=\frac{20}{7}$$