Issolvi {l}{2x+y=-6}{y=7x+3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = - 6 } \\ { y = 7 x + 3 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-1$$

$$y=-4$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 7x miż-żewġ naħat.

$$y-7x=3$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+y=-6$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-y-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-6\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-y-6.

$$x=-\frac{1}{2}y-3$$

Issostitwixxi -\frac{y}{2}-3 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -7x+y=3.

$$-7\left(-\frac{1}{2}y-3\right)+y=3$$

Immultiplika -7 b'-\frac{y}{2}-3.

$$\frac{7}{2}y+21+y=3$$

Żid \frac{7y}{2} ma' y.

$$\frac{9}{2}y+21=3$$

Naqqas 21 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{9}{2}y=-18$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{9}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-4$$

Issostitwixxi -4 għal y f'x=-\frac{1}{2}y-3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4\right)-3$$

Immultiplika -\frac{1}{2} b'-4.

$$x=2-3$$

Żid -3 ma' 2.

$$x=-1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-1,y=-4$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 7x miż-żewġ naħat.

$$y-7x=3$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-7\right)}&-\frac{1}{2-\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{2-\left(-7\right)}&\frac{2}{2-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\\\frac{7}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-6\right)-\frac{1}{9}\times 3\\\frac{7}{9}\left(-6\right)+\frac{2}{9}\times 3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-1,y=-4$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 7x miż-żewġ naħat.

$$y-7x=3$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

Naqqas -7x+y=3 minn 2x+y=-6 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2x+7x+y-y=-6-3$$

Żid y ma' -y. y u -y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2x+7x=-6-3$$

Żid 2x ma' 7x.

$$9x=-6-3$$

Żid -6 ma' -3.

$$9x=-9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'9.

$$x=-1$$

Issostitwixxi -1 għal x f'-7x+y=3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$-7\left(-1\right)+y=3$$

Immultiplika -7 b'-1.

$$7+y=3$$

Naqqas 7 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=-4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-1,y=-4$$