Issolvi {l}{2x+y=-16}{-4x+10y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = - 16 } \\ { - 4 x + 10 y = 8 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-7$$

$$y=-2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+y=-16,-4x+10y=8$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+y=-16$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-y-16$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-16\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-y-16.

$$x=-\frac{1}{2}y-8$$

Issostitwixxi -\frac{y}{2}-8 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -4x+10y=8.

$$-4\left(-\frac{1}{2}y-8\right)+10y=8$$

Immultiplika -4 b'-\frac{y}{2}-8.

$$2y+32+10y=8$$

Żid 2y ma' 10y.

$$12y+32=8$$

Naqqas 32 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$12y=-24$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'12.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'x=-\frac{1}{2}y-8. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-2\right)-8$$

Immultiplika -\frac{1}{2} b'-2.

$$x=1-8$$

Żid -8 ma' 1.

$$x=-7$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-7,y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+y=-16,-4x+10y=8$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{2\times 10-\left(-4\right)}&-\frac{1}{2\times 10-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2\times 10-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 10-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{24}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\left(-16\right)-\frac{1}{24}\times 8\\\frac{1}{6}\left(-16\right)+\frac{1}{12}\times 8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-7,y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+y=-16,-4x+10y=8$$

Biex tagħmel 2x u -4x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$-4\times 2x-4y=-4\left(-16\right),2\left(-4\right)x+2\times 10y=2\times 8$$

Issimplifika.

$$-8x-4y=64,-8x+20y=16$$

Naqqas -8x+20y=16 minn -8x-4y=64 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-8x+8x-4y-20y=64-16$$

Żid -8x ma' 8x. -8x u 8x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-4y-20y=64-16$$

Żid -4y ma' -20y.

$$-24y=64-16$$

Żid 64 ma' -16.

$$-24y=48$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-24.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'-4x+10y=8. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-4x+10\left(-2\right)=8$$

Immultiplika 10 b'-2.

$$-4x-20=8$$

Żid 20 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-4x=28$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$x=-7$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-7,y=-2$$