Issolvi {l}{2x+9y=19}{4x+my=53}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 9 y = 19 } \\ { 4 x + m y = 53 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-\frac{477-19m}{2\left(m-18\right)}$$

$$y=\frac{15}{m-18}$$

$$m\neq 18$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+9y=19$$

Naqqas 9y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-9y+19$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-9y+19\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-9y+19.

$$x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}$$

Issostitwixxi \frac{-9y+19}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 4x+my=53.

$$4\left(-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}\right)+my=53$$

Immultiplika 4 b'\frac{-9y+19}{2}.

$$-18y+38+my=53$$

Żid -18y ma' my.

$$\left(m-18\right)y+38=53$$

Naqqas 38 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(m-18\right)y=15$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-18+m.

$$y=\frac{15}{m-18}$$

Issostitwixxi \frac{15}{-18+m} għal y f'x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{9}{2}\times \frac{15}{m-18}+\frac{19}{2}$$

Immultiplika -\frac{9}{2} b'\frac{15}{-18+m}.

$$x=-\frac{135}{2\left(m-18\right)}+\frac{19}{2}$$

Żid \frac{19}{2} ma' -\frac{135}{2\left(-18+m\right)}.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2m-9\times 4}&-\frac{9}{2m-9\times 4}\\-\frac{4}{2m-9\times 4}&\frac{2}{2m-9\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}&-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\\-\frac{2}{m-18}&\frac{1}{m-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}\times 19+\left(-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\right)\times 53\\\left(-\frac{2}{m-18}\right)\times 19+\frac{1}{m-18}\times 53\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}\\\frac{15}{m-18}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

Biex tagħmel 2x u 4x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$4\times 2x+4\times 9y=4\times 19,2\times 4x+2my=2\times 53$$

Issimplifika.

$$8x+36y=76,8x+2my=106$$

Naqqas 8x+2my=106 minn 8x+36y=76 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$8x-8x+36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

Żid 8x ma' -8x. 8x u -8x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

Żid 36y ma' -2my.

$$\left(36-2m\right)y=76-106$$

Żid 76 ma' -106.

$$\left(36-2m\right)y=-30$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'36-2m.

$$y=-\frac{15}{18-m}$$

Issostitwixxi -\frac{15}{18-m} għal y f'4x+my=53. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$4x+m\left(-\frac{15}{18-m}\right)=53$$

Immultiplika m b'-\frac{15}{18-m}.

$$4x-\frac{15m}{18-m}=53$$

Żid \frac{15m}{18-m} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=\frac{2\left(477-19m\right)}{18-m}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)},y=-\frac{15}{18-m}$$