Issolvi {l}{2x+5y=259}{199x-2y=1127}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 259 } \\ { 199 x - 2 y = 1127 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{2051}{333} = 6\frac{53}{333} \approx 6.159159159$$

$$y = \frac{16429}{333} = 49\frac{112}{333} \approx 49.336336336$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+5y=259$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-5y+259$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+259\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-5y+259.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}$$

Issostitwixxi \frac{-5y+259}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 199x-2y=1127.

$$199\left(-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}\right)-2y=1127$$

Immultiplika 199 b'\frac{-5y+259}{2}.

$$-\frac{995}{2}y+\frac{51541}{2}-2y=1127$$

Żid -\frac{995y}{2} ma' -2y.

$$-\frac{999}{2}y+\frac{51541}{2}=1127$$

Naqqas \frac{51541}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{999}{2}y=-\frac{49287}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{999}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{16429}{333}$$

Issostitwixxi \frac{16429}{333} għal y f'x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{16429}{333}+\frac{259}{2}$$

Immultiplika -\frac{5}{2} b'\frac{16429}{333} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{82145}{666}+\frac{259}{2}$$

Żid \frac{259}{2} ma' -\frac{82145}{666} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{2051}{333}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 199}\\-\frac{199}{2\left(-2\right)-5\times 199}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}&\frac{5}{999}\\\frac{199}{999}&-\frac{2}{999}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}\times 259+\frac{5}{999}\times 1127\\\frac{199}{999}\times 259-\frac{2}{999}\times 1127\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2051}{333}\\\frac{16429}{333}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Biex tagħmel 2x u 199x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'199 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$199\times 2x+199\times 5y=199\times 259,2\times 199x+2\left(-2\right)y=2\times 1127$$

Issimplifika.

$$398x+995y=51541,398x-4y=2254$$

Naqqas 398x-4y=2254 minn 398x+995y=51541 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$398x-398x+995y+4y=51541-2254$$

Żid 398x ma' -398x. 398x u -398x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$995y+4y=51541-2254$$

Żid 995y ma' 4y.

$$999y=51541-2254$$

Żid 51541 ma' -2254.

$$999y=49287$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'999.

$$y=\frac{16429}{333}$$

Issostitwixxi \frac{16429}{333} għal y f'199x-2y=1127. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$199x-2\times \frac{16429}{333}=1127$$

Immultiplika -2 b'\frac{16429}{333}.

$$199x-\frac{32858}{333}=1127$$

Żid \frac{32858}{333} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$199x=\frac{408149}{333}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'199.

$$x=\frac{2051}{333}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$