Issolvi {l}{2x+5y=20}{3x-2y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 20 } \\ { 3 x - 2 y = 11 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=5$$

$$y=2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+5y=20,3x-2y=11$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+5y=20$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-5y+20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+20\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-5y+20.

$$x=-\frac{5}{2}y+10$$

Issostitwixxi -\frac{5y}{2}+10 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x-2y=11.

$$3\left(-\frac{5}{2}y+10\right)-2y=11$$

Immultiplika 3 b'-\frac{5y}{2}+10.

$$-\frac{15}{2}y+30-2y=11$$

Żid -\frac{15y}{2} ma' -2y.

$$-\frac{19}{2}y+30=11$$

Naqqas 30 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{19}{2}y=-19$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{19}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'x=-\frac{5}{2}y+10. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{5}{2}\times 2+10$$

Immultiplika -\frac{5}{2} b'2.

$$x=-5+10$$

Żid 10 ma' -5.

$$x=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+5y=20,3x-2y=11$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 3}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-5\times 3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 20+\frac{5}{19}\times 11\\\frac{3}{19}\times 20-\frac{2}{19}\times 11\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=5,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+5y=20,3x-2y=11$$

Biex tagħmel 2x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$3\times 2x+3\times 5y=3\times 20,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 11$$

Issimplifika.

$$6x+15y=60,6x-4y=22$$

Naqqas 6x-4y=22 minn 6x+15y=60 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x+15y+4y=60-22$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$15y+4y=60-22$$

Żid 15y ma' 4y.

$$19y=60-22$$

Żid 60 ma' -22.

$$19y=38$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'19.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'3x-2y=11. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x-2\times 2=11$$

Immultiplika -2 b'2.

$$3x-4=11$$

Żid 4 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=15$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=2$$