Issolvi {l}{2x+5y=2}{3x+3y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 2 } \\ { 3 x + 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-\frac{1}{9}\approx -0.111111111$$

$$y=\frac{4}{9}\approx 0.444444444$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+5y=2,3x+3y=1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+5y=2$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-5y+2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+2\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-5y+2.

$$x=-\frac{5}{2}y+1$$

Issostitwixxi -\frac{5y}{2}+1 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x+3y=1.

$$3\left(-\frac{5}{2}y+1\right)+3y=1$$

Immultiplika 3 b'-\frac{5y}{2}+1.

$$-\frac{15}{2}y+3+3y=1$$

Żid -\frac{15y}{2} ma' 3y.

$$-\frac{9}{2}y+3=1$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{9}{2}y=-2$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{9}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{4}{9}$$

Issostitwixxi \frac{4}{9} għal y f'x=-\frac{5}{2}y+1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{4}{9}+1$$

Immultiplika -\frac{5}{2} b'\frac{4}{9} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{10}{9}+1$$

Żid 1 ma' -\frac{10}{9}.

$$x=-\frac{1}{9}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{1}{9},y=\frac{4}{9}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+5y=2,3x+3y=1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-5\times 3}&-\frac{5}{2\times 3-5\times 3}\\-\frac{3}{2\times 3-5\times 3}&\frac{2}{2\times 3-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{5}{9}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 2+\frac{5}{9}\\\frac{1}{3}\times 2-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\\\frac{4}{9}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{1}{9},y=\frac{4}{9}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+5y=2,3x+3y=1$$

Biex tagħmel 2x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$3\times 2x+3\times 5y=3\times 2,2\times 3x+2\times 3y=2$$

Issimplifika.

$$6x+15y=6,6x+6y=2$$

Naqqas 6x+6y=2 minn 6x+15y=6 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x+15y-6y=6-2$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$15y-6y=6-2$$

Żid 15y ma' -6y.

$$9y=6-2$$

Żid 6 ma' -2.

$$9y=4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'9.

$$y=\frac{4}{9}$$

Issostitwixxi \frac{4}{9} għal y f'3x+3y=1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x+3\times \frac{4}{9}=1$$

Immultiplika 3 b'\frac{4}{9}.

$$3x+\frac{4}{3}=1$$

Naqqas \frac{4}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-\frac{1}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=-\frac{1}{9}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{1}{9},y=\frac{4}{9}$$