Issolvi {l}{2x+5y=17}{5x+y=31}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 17 } \\ { 5 x + y = 31 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=6$$

$$y=1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+5y=17,5x+y=31$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+5y=17$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-5y+17$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+17\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-5y+17.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}$$

Issostitwixxi \frac{-5y+17}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 5x+y=31.

$$5\left(-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}\right)+y=31$$

Immultiplika 5 b'\frac{-5y+17}{2}.

$$-\frac{25}{2}y+\frac{85}{2}+y=31$$

Żid -\frac{25y}{2} ma' y.

$$-\frac{23}{2}y+\frac{85}{2}=31$$

Naqqas \frac{85}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{23}{2}y=-\frac{23}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{23}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'x=-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{-5+17}{2}$$

Żid \frac{17}{2} ma' -\frac{5}{2} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=6$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=6,y=1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+5y=17,5x+y=31$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-5\times 5}&-\frac{5}{2-5\times 5}\\-\frac{5}{2-5\times 5}&\frac{2}{2-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{23}&\frac{5}{23}\\\frac{5}{23}&-\frac{2}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{23}\times 17+\frac{5}{23}\times 31\\\frac{5}{23}\times 17-\frac{2}{23}\times 31\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=6,y=1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+5y=17,5x+y=31$$

Biex tagħmel 2x u 5x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$5\times 2x+5\times 5y=5\times 17,2\times 5x+2y=2\times 31$$

Issimplifika.

$$10x+25y=85,10x+2y=62$$

Naqqas 10x+2y=62 minn 10x+25y=85 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$10x-10x+25y-2y=85-62$$

Żid 10x ma' -10x. 10x u -10x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$25y-2y=85-62$$

Żid 25y ma' -2y.

$$23y=85-62$$

Żid 85 ma' -62.

$$23y=23$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'23.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'5x+y=31. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$5x+1=31$$

Naqqas 1 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=30$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=6$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=6,y=1$$