Issolvi {l}{2x+4y=8}{3y-2x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 8 } \\ { 3 y - 2 x = 6 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=0$$

$$y=2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+4y=8,-2x+3y=6$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+4y=8$$

Naqqas 4y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-4y+8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+8\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-4y+8.

$$x=-2y+4$$

Issostitwixxi -2y+4 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -2x+3y=6.

$$-2\left(-2y+4\right)+3y=6$$

Immultiplika -2 b'-2y+4.

$$4y-8+3y=6$$

Żid 4y ma' 3y.

$$7y-8=6$$

Żid 8 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$7y=14$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'x=-2y+4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-2\times 2+4$$

Immultiplika -2 b'2.

$$x=-4+4$$

Żid 4 ma' -4.

$$x=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=0,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+4y=8,-2x+3y=6$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-4\left(-2\right)}&-\frac{4}{2\times 3-4\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 3-4\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 3-4\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}&-\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}\times 8-\frac{2}{7}\times 6\\\frac{1}{7}\times 8+\frac{1}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=0,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+4y=8,-2x+3y=6$$

Biex tagħmel 2x u -2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$-2\times 2x-2\times 4y=-2\times 8,2\left(-2\right)x+2\times 3y=2\times 6$$

Issimplifika.

$$-4x-8y=-16,-4x+6y=12$$

Naqqas -4x+6y=12 minn -4x-8y=-16 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-4x+4x-8y-6y=-16-12$$

Żid -4x ma' 4x. -4x u 4x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-8y-6y=-16-12$$

Żid -8y ma' -6y.

$$-14y=-16-12$$

Żid -16 ma' -12.

$$-14y=-28$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-14.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'-2x+3y=6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-2x+3\times 2=6$$

Immultiplika 3 b'2.

$$-2x+6=6$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2x=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$x=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=0,y=2$$