Issolvi {l}{2x+4y=12}{3x+y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 12 } \\ { 3 x + y = 6 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1.2$$

$$y = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} = 2.4$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+4y=12,3x+y=6$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+4y=12$$

Naqqas 4y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-4y+12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+12\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-4y+12.

$$x=-2y+6$$

Issostitwixxi -2y+6 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x+y=6.

$$3\left(-2y+6\right)+y=6$$

Immultiplika 3 b'-2y+6.

$$-6y+18+y=6$$

Żid -6y ma' y.

$$-5y+18=6$$

Naqqas 18 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-5y=-12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$y=\frac{12}{5}$$

Issostitwixxi \frac{12}{5} għal y f'x=-2y+6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-2\times \frac{12}{5}+6$$

Immultiplika -2 b'\frac{12}{5}.

$$x=-\frac{24}{5}+6$$

Żid 6 ma' -\frac{24}{5}.

$$x=\frac{6}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{12}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+4y=12,3x+y=6$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-4\times 3}&-\frac{4}{2-4\times 3}\\-\frac{3}{2-4\times 3}&\frac{2}{2-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{2}{5}\\\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 12+\frac{2}{5}\times 6\\\frac{3}{10}\times 12-\frac{1}{5}\times 6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\\frac{12}{5}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{12}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+4y=12,3x+y=6$$

Biex tagħmel 2x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$3\times 2x+3\times 4y=3\times 12,2\times 3x+2y=2\times 6$$

Issimplifika.

$$6x+12y=36,6x+2y=12$$

Naqqas 6x+2y=12 minn 6x+12y=36 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x+12y-2y=36-12$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$12y-2y=36-12$$

Żid 12y ma' -2y.

$$10y=36-12$$

Żid 36 ma' -12.

$$10y=24$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'10.

$$y=\frac{12}{5}$$

Issostitwixxi \frac{12}{5} għal y f'3x+y=6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x+\frac{12}{5}=6$$

Naqqas \frac{12}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=\frac{18}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{6}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{12}{5}$$