Issolvi {l}{2x+3y=8}{6x-3y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 8 } \\ { 6 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

$$y = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+3y=8,6x-3y=10$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+3y=8$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-3y+8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+8\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-3y+8.

$$x=-\frac{3}{2}y+4$$

Issostitwixxi -\frac{3y}{2}+4 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 6x-3y=10.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+4\right)-3y=10$$

Immultiplika 6 b'-\frac{3y}{2}+4.

$$-9y+24-3y=10$$

Żid -9y ma' -3y.

$$-12y+24=10$$

Naqqas 24 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-12y=-14$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-12.

$$y=\frac{7}{6}$$

Issostitwixxi \frac{7}{6} għal y f'x=-\frac{3}{2}y+4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{6}+4$$

Immultiplika -\frac{3}{2} b'\frac{7}{6} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{7}{4}+4$$

Żid 4 ma' -\frac{7}{4}.

$$x=\frac{9}{4}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{9}{4},y=\frac{7}{6}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+3y=8,6x-3y=10$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-3\times 6}&-\frac{3}{2\left(-3\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-3\right)-3\times 6}&\frac{2}{2\left(-3\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 8+\frac{1}{8}\times 10\\\frac{1}{4}\times 8-\frac{1}{12}\times 10\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\\\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{9}{4},y=\frac{7}{6}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+3y=8,6x-3y=10$$

Biex tagħmel 2x u 6x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'6 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 8,2\times 6x+2\left(-3\right)y=2\times 10$$

Issimplifika.

$$12x+18y=48,12x-6y=20$$

Naqqas 12x-6y=20 minn 12x+18y=48 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$12x-12x+18y+6y=48-20$$

Żid 12x ma' -12x. 12x u -12x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$18y+6y=48-20$$

Żid 18y ma' 6y.

$$24y=48-20$$

Żid 48 ma' -20.

$$24y=28$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'24.

$$y=\frac{7}{6}$$

Issostitwixxi \frac{7}{6} għal y f'6x-3y=10. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$6x-3\times \frac{7}{6}=10$$

Immultiplika -3 b'\frac{7}{6}.

$$6x-\frac{7}{2}=10$$

Żid \frac{7}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6x=\frac{27}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=\frac{9}{4}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{9}{4},y=\frac{7}{6}$$