Issolvi {l}{2x+3y=57}{3x-5y=81/2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 57 } \\ { 3 x - 5 y = 8 \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{621}{38} = 16\frac{13}{38} \approx 16.342105263$$

$$y = \frac{154}{19} = 8\frac{2}{19} \approx 8.105263158$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+3y=57,3x-5y=\frac{17}{2}$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+3y=57$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-3y+57$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+57\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-3y+57.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{57}{2}$$

Issostitwixxi \frac{-3y+57}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x-5y=\frac{17}{2}.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{57}{2}\right)-5y=\frac{17}{2}$$

Immultiplika 3 b'\frac{-3y+57}{2}.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{171}{2}-5y=\frac{17}{2}$$

Żid -\frac{9y}{2} ma' -5y.

$$-\frac{19}{2}y+\frac{171}{2}=\frac{17}{2}$$

Naqqas \frac{171}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{19}{2}y=-77$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{19}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{154}{19}$$

Issostitwixxi \frac{154}{19} għal y f'x=-\frac{3}{2}y+\frac{57}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{154}{19}+\frac{57}{2}$$

Immultiplika -\frac{3}{2} b'\frac{154}{19} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{231}{19}+\frac{57}{2}$$

Żid \frac{57}{2} ma' -\frac{231}{19} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{621}{38}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{621}{38},y=\frac{154}{19}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+3y=57,3x-5y=\frac{17}{2}$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}57\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}57\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}57\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}57\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-3\times 3}&-\frac{3}{2\left(-5\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-5\right)-3\times 3}&\frac{2}{2\left(-5\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}57\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}57\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 57+\frac{3}{19}\times \frac{17}{2}\\\frac{3}{19}\times 57-\frac{2}{19}\times \frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{621}{38}\\\frac{154}{19}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{621}{38},y=\frac{154}{19}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+3y=57,3x-5y=\frac{17}{2}$$

Biex tagħmel 2x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 57,2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\times \frac{17}{2}$$

Issimplifika.

$$6x+9y=171,6x-10y=17$$

Naqqas 6x-10y=17 minn 6x+9y=171 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x+9y+10y=171-17$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$9y+10y=171-17$$

Żid 9y ma' 10y.

$$19y=171-17$$

Żid 171 ma' -17.

$$19y=154$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'19.

$$y=\frac{154}{19}$$

Issostitwixxi \frac{154}{19} għal y f'3x-5y=\frac{17}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x-5\times \frac{154}{19}=\frac{17}{2}$$

Immultiplika -5 b'\frac{154}{19}.

$$3x-\frac{770}{19}=\frac{17}{2}$$

Żid \frac{770}{19} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=\frac{1863}{38}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{621}{38}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{621}{38},y=\frac{154}{19}$$