Issolvi {l}{2x+3y=5}{3x+2y=76}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 76 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{218}{5} = 43\frac{3}{5} = 43.6$$

$$y = -\frac{137}{5} = -27\frac{2}{5} = -27.4$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+3y=5,3x+2y=76$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+3y=5$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-3y+5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-3y+5.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Issostitwixxi \frac{-3y+5}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x+2y=76.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)+2y=76$$

Immultiplika 3 b'\frac{-3y+5}{2}.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{15}{2}+2y=76$$

Żid -\frac{9y}{2} ma' 2y.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}=76$$

Naqqas \frac{15}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{5}{2}y=\frac{137}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{5}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{137}{5}$$

Issostitwixxi -\frac{137}{5} għal y f'x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{137}{5}\right)+\frac{5}{2}$$

Immultiplika -\frac{3}{2} b'-\frac{137}{5} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{411}{10}+\frac{5}{2}$$

Żid \frac{5}{2} ma' \frac{411}{10} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{218}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{218}{5},y=-\frac{137}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+3y=5,3x+2y=76$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\76\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\76\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\76\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\76\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 2-3\times 3}&\frac{2}{2\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\76\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\76\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 5+\frac{3}{5}\times 76\\\frac{3}{5}\times 5-\frac{2}{5}\times 76\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{218}{5}\\-\frac{137}{5}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{218}{5},y=-\frac{137}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+3y=5,3x+2y=76$$

Biex tagħmel 2x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 5,2\times 3x+2\times 2y=2\times 76$$

Issimplifika.

$$6x+9y=15,6x+4y=152$$

Naqqas 6x+4y=152 minn 6x+9y=15 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x+9y-4y=15-152$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$9y-4y=15-152$$

Żid 9y ma' -4y.

$$5y=15-152$$

Żid 15 ma' -152.

$$5y=-137$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$y=-\frac{137}{5}$$

Issostitwixxi -\frac{137}{5} għal y f'3x+2y=76. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x+2\left(-\frac{137}{5}\right)=76$$

Immultiplika 2 b'-\frac{137}{5}.

$$3x-\frac{274}{5}=76$$

Żid \frac{274}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=\frac{654}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{218}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{218}{5},y=-\frac{137}{5}$$