Issolvi {l}{2x+3y=4}{3x+4y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 4 } \\ { 3 x + 4 y = 10 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=14$$

$$y=-8$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+3y=4,3x+4y=10$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+3y=4$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-3y+4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+4\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-3y+4.

$$x=-\frac{3}{2}y+2$$

Issostitwixxi -\frac{3y}{2}+2 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x+4y=10.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+2\right)+4y=10$$

Immultiplika 3 b'-\frac{3y}{2}+2.

$$-\frac{9}{2}y+6+4y=10$$

Żid -\frac{9y}{2} ma' 4y.

$$-\frac{1}{2}y+6=10$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{1}{2}y=4$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-2.

$$y=-8$$

Issostitwixxi -8 għal y f'x=-\frac{3}{2}y+2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-8\right)+2$$

Immultiplika -\frac{3}{2} b'-8.

$$x=12+2$$

Żid 2 ma' 12.

$$x=14$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=14,y=-8$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+3y=4,3x+4y=10$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 4-3\times 3}&\frac{2}{2\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\times 4+3\times 10\\3\times 4-2\times 10\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-8\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=14,y=-8$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+3y=4,3x+4y=10$$

Biex tagħmel 2x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 4,2\times 3x+2\times 4y=2\times 10$$

Issimplifika.

$$6x+9y=12,6x+8y=20$$

Naqqas 6x+8y=20 minn 6x+9y=12 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x+9y-8y=12-20$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$9y-8y=12-20$$

Żid 9y ma' -8y.

$$y=12-20$$

Żid 12 ma' -20.

$$y=-8$$

Issostitwixxi -8 għal y f'3x+4y=10. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x+4\left(-8\right)=10$$

Immultiplika 4 b'-8.

$$3x-32=10$$

Żid 32 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=42$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=14$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=14,y=-8$$