Issolvi {l}{2x+3y=20}{7x+2y=53}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 20 } \\ { 7 x + 2 y = 53 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=7$$

$$y=2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+3y=20,7x+2y=53$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+3y=20$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-3y+20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+20\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-3y+20.

$$x=-\frac{3}{2}y+10$$

Issostitwixxi -\frac{3y}{2}+10 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 7x+2y=53.

$$7\left(-\frac{3}{2}y+10\right)+2y=53$$

Immultiplika 7 b'-\frac{3y}{2}+10.

$$-\frac{21}{2}y+70+2y=53$$

Żid -\frac{21y}{2} ma' 2y.

$$-\frac{17}{2}y+70=53$$

Naqqas 70 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{17}{2}y=-17$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{17}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'x=-\frac{3}{2}y+10. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{2}\times 2+10$$

Immultiplika -\frac{3}{2} b'2.

$$x=-3+10$$

Żid 10 ma' -3.

$$x=7$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=7,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+3y=20,7x+2y=53$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 7}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 7}\\-\frac{7}{2\times 2-3\times 7}&\frac{2}{2\times 2-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{7}{17}&-\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{17}\times 20+\frac{3}{17}\times 53\\\frac{7}{17}\times 20-\frac{2}{17}\times 53\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=7,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+3y=20,7x+2y=53$$

Biex tagħmel 2x u 7x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'7 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$7\times 2x+7\times 3y=7\times 20,2\times 7x+2\times 2y=2\times 53$$

Issimplifika.

$$14x+21y=140,14x+4y=106$$

Naqqas 14x+4y=106 minn 14x+21y=140 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$14x-14x+21y-4y=140-106$$

Żid 14x ma' -14x. 14x u -14x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$21y-4y=140-106$$

Żid 21y ma' -4y.

$$17y=140-106$$

Żid 140 ma' -106.

$$17y=34$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'17.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'7x+2y=53. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$7x+2\times 2=53$$

Immultiplika 2 b'2.

$$7x+4=53$$

Naqqas 4 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$7x=49$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$x=7$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=7,y=2$$